Дипломная работа: Операторы проектирования

Предложение 2. Пусть Ù - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Ùx ¹0 для некоторого x из X.

Тогда если Ù непрерывен, то ядро N(Ù) замкнуто в X.

Доказательство.

Так как N(Ù) = Ù({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Ù влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).

Теорема 1.

а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ÅN(P);

б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АÅВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.

Доказательство:

а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)ÅN(P);

Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .

Пусть последовательности x→x и Px→y.

Так как Px принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.

Аналогично x- Px принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.

Определение . Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.

Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:G´G®G, определенного равенством: j(x,y)=xy.

Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.

Определение . Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.

Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.

Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T:X®X, причем

T = TT, где s, t принадлежат G

и отображение (s, x) ® Tx прямого произведения G´X в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.

Теорема 2 .

Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т(Y)ÌY для любого sÎG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т.

Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда

dm £ dm

Пример недополняемого подпространства.

Рассмотрим подпространство Y=H пространства Х=L, где L- пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L, для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:

(n)=edx, (n=0,1, 2, …). (1)

(для простоты обозначается: f(x)=f(e )).