Дипломная работа: Операторы проектирования

Пусть Е – множество четных чисел и пусть

С = {f(x)Î С: (n) = 0 "nÏE}.

Требуется доказать, что С дополняемо в С[0, 2p].

Доказательство:

Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С[0, 2p] на С(Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.

Рассмотрим оператор P = (t+I), где t - оператор сдвига на p, а I - тождественное отображение.

t ограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как

= = 1, то есть С = 1.

А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).

I - тоже непрерывен.

Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.

1) n = 2k-1, где к – целое.

(()(2k-1)+()(2k-1)) =

= (e (2k-1)+ (2k-1)) = (2k-1)( e +1). (*)

Так как e =cos j+isin j, значит e = cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p).

При любом k – целом выражение cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.

2) n=2k, где k – целое.

(()(2k)+( )(2k)) = (e (2k)+ (2k)) =

= (2k)( e +1). (**)

При любом k – целом выражение cos (2kp)+isin(2kp) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, то есть равно (2k). Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является проектором.

Таким образом, нашелся такой непрерывный проектор P: С[0, 2p]® С, следовательно С дополняемо в С[0, 2p].

Литература.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.

2. Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.

3. Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.