Дипломная работа: Операторы проектирования

e ÎG оператор сдвига t, полагая, что

(tf)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число. (2)

Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ()(n) =e dx.

Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда

()(n)=ed(t-s) =

= eedt=eedt=e (n),

то есть (tf)(n)= e (n). (3).

Так как e ÎG, то t(H) = H для любого вещественного s.

Если бы подпространство H было дополняемо в L, то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L на H, что tQ = Qt для любого вещественного s. (4).

Найдем вид проектора. Положим e(x)=e . Тогда te=ee, а так как оператор Q линеен, то

Qte = eQe. (5).

Из (4) и (5) следует, что

(Qe)(x-s) = e (Qe)(x). (6).

Пусть С = (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид

Qe = Ce. (7).

Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н. Так как Qe принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что

С = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H, то С = 1 при любом n³0.

Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:

Q(e)=e. (8).

Рассмотрим функцию f (x) = e, (0<r<1), (9).

которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f>0. Поэтому

= dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf)(x) = e = (11).

Так как dx = ¥, то из леммы Фату следует, что ® ¥, при

r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.

Таким образом, доказано, что H недополняемо в L.

Часть II . Дополняемость в гильбертовых пространствах.

Гильбертово пространство.

Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:

а) (y,x)=, "x, yÎH;