Дипломная работа: Оценки спектральных радиусов

Параграф 4 содержит сведения, касающиеся интегральных уравнений с вырожденным ядром и уравнений типа свертки.

Вторая глава посвящена рассмотрению вопросов, связанных с исследованием вычисления спектрального радиуса интегрального оператора. Рассматривается понятие спектрального радиуса линейного оператора, в терминах этого понятия приводятся важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда). Исследуются вопросы, связанные со сравнением спектральных радиусов двух положительных операторов. Рассматриваются оценки спектральных радиусов двух интегральных операторов различной природы, приведены примеры, иллюстрирующие эти результаты. Также приведены новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора.

В главе IIIизучается влияние взаимного расположения особенностей ядра интегрального оператора на его норму, спектральный радиус. Рассмотрены верхние и нижние оценки интегральных операторов. На основе этих неравенств вводится отношение частичного порядка, позволяющее в некоторых случаях сравнивать нормы интегральных операторов. Рассмотрены оценки нормы интегрального оператора в пространствах Лебега и Лоренца, автором сформулировано замечание к теореме для трехпараметрического пространства Лоренца.

Глава I

Интегральные операторы

§ 1. Операторы

При рассмотрении отображений пространств в функциональном анализе используют понятия операторов и функционалов [9], [14], [30].

Под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

Под функционалами понимают функции, отображающие элементы линейного пространства в его пространство скаляров.

Значительное число задач, встречающихся в математике и ее приложениях, могут рассматриваться как конкретные примеры операторных уравнений.

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Определение. Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным , если

А(λ ₁ x ₁ + λ ₂ x ₂ ) = λ ₁ А(x ₁ ) + λ ₂ А(x ₂ )

для любых x ₁ ,x ₂ Î D и любых скаляров λ ₁ и λ ₂ .

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Определение. Оператор А называется непрерывным в точке x₀ Î X, если Аx → Аx₀ при x → x₀ . Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x₀ Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Введем в рассмотрение банахово пространство [3]. Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство.

Теорема 1 . Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве E , и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î E ; тогда А непрерывен в любой точке x₀ Î E .

Доказательство.

Рассмотрим равенство Аx – Аx₀ = А (x – x₀ ) . Если x → x₀ , то z = x – x₀ → 0 . По непрерывности в нуле Аz → 0 , но тогда Аx – Аx₀ → 0 , что и требовалось доказать.

Определение. Линейный оператор А называется непрерывным , если он непрерывен в точке x=0 .

Пусть S₁ (0) – замкнутый шар ||x || ≤ 1 в банаховом пространстве E .

Будем называть линейный оператор А: X→Y ограниченным , если он ограничен на единичным шаре S₁ (0) , т.е. если ограничено множество

{ ||Аx ||, ||x || ≤ 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x , ||x || ≤ 1 справедливо неравенство

||Аx || ≤ с (1)

Теорема 2. Если - линейный оператор, то следующие утверждения эквивалентны :

1) существует точка , в которой оператор A непрерывен ;

2) оператор A непрерывен ;