Дипломная работа: Оценки спектральных радиусов

Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.

§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения

типа свертки

Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром . К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде

(6)

Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде

(5)

где

.

Умножение (7) на η_j и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных c_j :

в которой

,

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K (t , s ) = k (t – s ):

Название наследуется от интегрального оператора свертки

играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.

Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:

Линейный оператор называется вполне непрерывным , если он переводит каждое ограниченное по норме пространства множество в компактное множество.

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения , при которых уравнение

,

где – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений , не являющихся регулярными, называется спектром оператора и обозначается . Спектральным радиусом оператора называется число, определенное формулой

, .

Если уравнение

при данном имеет решение, отличное от тривиального, то называется собственным значением оператора , а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором , отвечающим этому собственному значению . При этом собственное значение называется позитивным , если и отвечающий ему собственный вектор принадлежит конусу .