Дипломная работа: Оценки спектральных радиусов

4) величина конечна.

Теорема 3 . А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx || ≤ с ||x || (2)

для любых x Î E , где с – постоянная.

Теорема 4 . Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§ 2. Конусы

Из теоремы 2, предыдущего параграфа следует, что величина тесно связана с непрерывностью оператора A [4].

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства

.

Доказательство.

Введем обозначения

и

и последовательно докажем цепочку неравенств . Каждая из величин и может равняться не только неотрицательному вещественному числу, но и плюс бесконечности.

Неравенство очевидно, поскольку в обеих частях неравенства супремум берется от одной и той же величины ,но при вычислении множество допустимых значений x шире.

Чтобы убедиться в справедливости неравенства , заметим, что для любого мы имеем

,

а значит, и супремум выражения , вычисленный по всем ,не превосходит β, т.е. справедливо неравенство , что и требовалось доказать.

Чтобы проверить неравенство , заметим, что для любого и такого, что , имеем .

Если же x =0, то . Поэтому , что и требовалось доказать.

Определение. Общее значение выражений

(3)

называется нормой оператора A и обозначается через .Такое название объясняется тем, что, как показывает cледующая теорема, величина действительно обладает свойствами нормы: она неотрицательна, положительно однородна и для нее справедливо неравенство треугольника.

Будем рассматривать банахово пространство , полуупорядоченное конусом , и оператор произвольной природы, действующий в [29].

Определение. Выпуклое множество называется конусом , если вместе с каждой своей точкой оно содержит луч, проходящий через , и если из вытекает, что (лучом, проходящим через точку , называется совокупность точек ).

Определение. Конус называется телесным , если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент пространства может быть представлен в виде , то конус называется воспроизводящим . Конус называется нормальным, если из неравенства следует, что , где – константа нормальности, не зависящая ни от , ни от .

Определение. Множество функционалов сопряженного пространства , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса , называется сопряженной полугруппой . Для того чтобы полугруппа была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус .

Будем говорить, что является квазивнутренним элементом , и обозначать , если для каждого ненулевого функционала выполняется неравенство . Положительный линейный оператор назовем неразложимым , если для любого из неравенства , следует, что .

В соответствии с [44], условимся писать, что , если .

В случае конечномерных пространств с конусом, составленном из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами.