Дипломная работа: Оценки спектральных радиусов

Оценки спектральных радиусов интегральных операторов

§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных

операторов

Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа

l x = Ax + f.

Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.

В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).

Приведем соответствующее определение.

Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е . Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора А , если оператор

(l I - A )

имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е . В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А . Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s (А ).

Спектральным радиусом r (А ) оператора А называется следующая величина:

.

Для ограниченного оператора А спектральный радиус r (А ) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка

r (А ) < ||A ||.

Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:

Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r (А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина) .

Более того, при несущественных дополнительных предположениях r (А ) является собственным значением оператора А , которому отвечает собственный вектор x ^* ÎК (теорема Перрона-Фробениуса [2]).

В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида

r(A)<1, (1)

где r(A) - спектральный радиус интегрального опера