Дипломная работа: Оценки спектральных радиусов

Тогда inf , sup не существует.

Аналогично, если - множество векторов из , удовлетворяющих неравенству

,

то sup , а inf не существует.

§3. Интегральные операторы

Большой интерес представляют линейные интегральные операторы

,

действующие в различных пространствах Е функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства R ^п [1], [16], [20].

Термин "интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в "одномерном" случае) могут быть записаны в виде

(1)

где x : [a , b ] → R — искомая функция, α, f : [a , b ] → R и K : [a , b ]×[a , b ] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.

Уравнение (1), когда K (t , s ) = 0 при a ≤ t ≤ s ≤ b , называют уравнением Вольтерры . В противном случае его называют уравнением Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона

и уравнения Гаммерштейна

Уравнения I и II рода

Если α(t ) ≠ 0 при всех t [a , b ], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде

(2)

Уравнения такого вида называют уравнениями II рода , отличая их от уравнений I рода

(3)

Если в некотором пространстве функций на отрезке [a , b ] определить интегральный оператор

то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде

x = Ix + f (4)

и

0 = Ix + f (5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5)корректно , если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f . Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E ₁ , E ₂ ) банаховых пространств функций на отрезке [a , b ], если для любой f E ₂ уравнение имеет единственное решение x E ₁ и, кроме того, найдется такая константа C , что ||x ||_{E 1} ≤ ||f ||_{E 2} .