Дипломная работа: Оценки спектральных радиусов

q £x £y ,

имеет место неравенство

||x ||£N ||y ||.

В этом случае говорят, что норма в Е полумонотонна .

Конусы неотрицательных функций в пространствах С , Z_p нормальны. Нормальны также все конусы в конечномерных пространствах. Не каждый конус обладает свойствами нормальности. Например, конус неотрицательных функций в пространстве с нормой

не обладает свойством нормальности.

Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, называется правильно полуупорядоченным . Конус, который порождает правильную полуупорядоченность будем назвать правильным .

Определение. Конус К назовем вполне правильным , если каждая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (по норме) к некоторому пределу.

Известно (см. [28], [30]), что каждый вполне правильный конус является правильным, каждый правильный конус является нормальным, конусы в конечномерных пространствах Rⁿ являются вполне правильными. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус обладает свойством телесности.

Приведем еще один крайне важный класс конусов. Прежде отметим следующее определение.

Определение. Пусть x , y – какие-либо два элемента полуупорядоченного пространства Е . Точной верхней гранью элементов x , y назовем такой элемент u = sup {x , y }, который обладает свойствами:

1⁰ . u ³x , u ³y ;

2⁰ . для всякого элемента w :

w ³x , w ³y

следует, что

u £w ,

т.е. sup {x , y } является верхней гранью элементов х и у одновременно, причем это -наименьшая из всех верхних граней этих элементов.

Определение. Если в полуупорядоченном пространстве Е для каждой пары элементов х , у существует sup {x , y }, то конус К называется миниэдральным (в дословном переводе этот термин означает, что конус имеет минимально возможное число граней).

Примерами миниэдральных конусов являются конусы векторов с неотрицательными координатами в пространствах Rⁿ , конусы неотрицательных функций в пространствах С _{[ a , b ]} , , конусы неотрицательных последовательностей в пространствах l_p (р ³ 1), т – ограниченных числовых последовательностей и некоторые другие.

Для миниэдральных конусов, наряду с понятием точной верхней грани элементов х , у , вводится понятие точной нижней грани элементов х , у , т.е. inf {x , y }. Приведем соответствующее определение.

Определение. Для данных элементов х , у из Е , Е – полуупорядоченное пространство, точной нижней гранью назовем такой элемент v = inf {x , y }, который обладает свойствами:

1⁰ . v £x , v £y ;

2⁰ . для всякого элемента w ₁ :

w ₁ £x , w ₁ £y

выполняется неравенство

v ³w ₁ ,

т.е. w – это наибольшая из всех нижних граней элементов х , у .

Развитием понятия миниэдральности конуса является понятие сильной миниэдральности конуса К .