Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца 2
· правая дистрибутивность: 
(а+в)с=ас+вс .
4. Мультипликативное свойство0:
· 
.
Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо Sназывается коммутативным , если операция 
в нем коммутативна: 
.
Полукольцо Sназывается полукольцом с единицей , если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1) : 
Примеры полуколец:
1. < N ,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;
2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3. Двухэлементные полукольца:<Z 2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
4. Множество матриц 
с элементами из полукольца N и операциями + и ;
5. Множества N, Z, Q+ , Q, R+ , R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум 
и минимум 
двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.
Полукольцо с импликацией 
называется мультипликативно (аддитивно) сократимым .
Полукольцо, в котором выполняется равенство 
, называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивные решетки .
Пусть L – произвольное множество. Введем наL отношение 
положив,
.
Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L , при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.
Отношение на множестве L является отношением порядка.
Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент 
, что 
для любого 
. Нижняя граньm множества M называется точной нижней гранью, если 
, где n – произвольная нижняя грань множества M . Двойственным образом определяется точная верхняя грань.
Частично упорядоченное множество L называется решеткой , если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной , если в ней выполняются дистрибутивные законы :
Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой , если ( L , +) и ( L ,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
,
;
Решетка называется дистрибутивной , если для любых 
, ограниченной , если она имеет 0 и 1.
1.3. Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S , если для любых элементов a , b
I , sS элементы a + b и sa ( as ) принадлежат I .
Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным . Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S , называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a . Обозначается ( a ) или SaS , односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так 
.
Собственный идеал M полукольца Sназывается максимальным (максимальным правым) идеалом , если 
влечет M = A или A = S для каждого идеала A .
Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:
1. {0} – нулевой идеал;
2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;
3. Идеал на полукольце 
: 
;
4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L , порожденный элементом a :
.
Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».
2.1. Определение, примеры и основные свойства.