Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца 2

1. Возьмем .

Тогда , т.к. .

Для доказательства понадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

.

Доказательство: ММИ по числу nв .

I. База. n =1 . Из условия ограниченности

II. И.П. n = i -1 .

Из условия IIи ограниченности:

.

По ИП:

Из условий I,IIполучили, что данное равенство верно для , лемма доказана.

Рассмотрим :

Поскольку степень равна 2 n -1 , то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо (1 группа), либо (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии и лемме 1. из группы 1 останется только элемент

Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем

2.Прежде всего проверим замкнутость операций и + на множествеI .

(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент

Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1 , или со всеми с. Элемент имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X , т.е.

С другой стороны

Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.

b). 1 – нейтральный элемент:

с). Коммутативность:

,

1.

2.

Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.