Дипломная работа: Положительные и ограниченные полукольца 2

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. полукольца непрерывных R ⁺ - значных функций;

3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым , если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I . Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S – положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

( a + b M ) ( a M & b M ).

Доказательство:

12. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M . Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:

.

В левой части последнего равенства – элемент из M , тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

21. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S . Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1 , противоречие), значит, 1+с обратим.

II . В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство . Пусть . Поскольку S положительно, то для x +1 найдется некоторый , такой что . Тогда

,т.к.. Получили y =1 и значит .

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку выполняется для , то для x =1, также выполняется. Обратно, 1+1=1 , помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.

Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

и – обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S – дистрибутивная решетка.

2.