Итак,

,

.

То есть, тогда и только тогда, когда .

Будем говорить, что Q ⁺ (a ) порождается минимальным соотношением .

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) – поле;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство .

· (1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a . То . Однако, . Таким образом, .

· (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

.

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим

и

,

тогда

.

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

· (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g )(a ) = 0, то h (a ) = 0.

· (4)®(5): Пусть , покажем, что .

Так как h (a )=0, то . Покажем, что . Рассмотрим

.

Если b ₀ ≠0, то

.

Если h ₀ =0, то

.

Так как a ≠0, то

.

Тогда

.

Итак, .

· (5)®(1): Пусть , покажем, что Q ⁺ (a ) – поле. Действительно, мы знаем, что Q ⁺ (a ) – полуполе. Рассмотрим b ÎQ ⁺ (a ), тогда . b + (‑ b )=0. То есть, Q ⁺ (a ) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q ⁺ ( a ) простое расширение Q ⁺ , a – алгебраический элемент над Q ⁺ . Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1)Q ⁺ ( a ) –полуполе;