Дипломная работа: Произведения конечных групп близких к нильпотентным

Изучение групп, представимых в произведение своих подгрупп является классической задачей алгебры.

Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX веке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус и Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [2]).

Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямое произведение -подгрупп по разным простым В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым

Случай, когда группа является произведением своих двух силовских подгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил их разрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым , когда она разрешима.

В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечных групп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этот вопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимость таких групп.

Класс конечных групп, представимых в произведение своих двух некоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточно сложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные, метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается.

Даже для таких групп связь группы со свойствами подгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьма непростой задачей.

В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многих авторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеет широкие перспективы.

Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств конечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух -разложимых подгрупп. В дальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди--разложимые. Рассматриваются только конечные разрешимые группы.

Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы.

Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведены обозначения, определения и некоторые известные результаты, существенно используемые в работе.

Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строении групп ди--разложимых групп. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди--разложимых группах и получен один новый результат.

Напомним следующее определение:

2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть – непустая формация. Подгруппа группы называется:

1) -субнормальной в , если либо , либо существует максимальная цепь подгрупп такая, что для всех (обозначается );

2) -достижимой в , если существует цепь подгрупп такая, что либо подгруппа субнормальна в , либо для любого (oбозначается ).

2.2.6 Т е о р е м а. Пусть – наслественная насыщенная формация, причем и – ди--разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если и то

2) если и то

Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьем разделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди--разложимых групп.

В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа группы называется факторизуемой относительно если и Хайнекен Н. [4] в 1990 году исследовал факторизуемые -проекторы в динильпотентных конечных группах для случая, когда – насыщенная формация. Группа называется динильпотентной, если , где и – нильпотентные подгруппы группы Подробнее в 1994 году Амберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена на классы Шунка.

В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди--нильпотентных группах. В классе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты.

3.2.1 Т е о р е м а. Пусть – некоторое множество простых чисел, – класс Шунка и . Если – ди--разложимая группа, причем , то в имеется хотя бы один факторизуемый относительно -проектор.

Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:

3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть – насыщенная формация, причем Если – ди--разложимая группа, причем , то в имеется хотя бы один факторизуемый относительно -проектор.

Следуя [], подгруппу группы назовем -картеровой подгруппой, если -нильпотентна, и содержит некоторую -холловскую подгруппу группы .

3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть – ди--разложимая группа. Тогда в имеется хотя бы одна факторизуемая относительно -картерова подгруппа.

Следуя, [] подгруппу группы назовем -гашюцевой подгруппой, если -сверхразрешима, содержит некоторую -холловскую подгруппу группы и для индекс есть составное число.

3.2.6 С л е д с т в и е . Пусть – ди--разложимая группа. Тогда в имеется хотя бы одна факторизуемая относительно -гашюцева подгруппа.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--