Дипломная работа: Произведения конечных групп близких к нильпотентным
1) ни для какого элемента 
подгруппа 
не является истинной подгруппой группы 
2) ни для какого элемента 
подгруппа не является истинной подгруппой группы 
3) подгруппа 
не изоморфна ни одной из своих истинных подгрупп (в частности, конечна;)
4) по крайней мере одна из фактор-групп 
и 
периодическая.
1.2.7 Л е м м а (Дедекинд). Пусть 
– подгруппа группы 
и 
– подгруппа из 
. Тогда для любой подгруппы 
группы выполняется соотношение
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 
и 
– произвольные элементы соответственно подгрупп и 
. Тогда 
и 
и, значит, 
. Следовательно, 
С другой стороны, если 
для некоторых элементов и 
то 
и, значит, 
Следовательно, 
Итак, соотношение (3) выполняется. Лемма доказана.
1.2.8 Л е м м а (С.Н. Черников [17]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и , и – подгруппа группы , содержащая . Тогда 
1.2.9 Л е м м а (Сесекин [18]). Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и ; – некоторая инвариантная подгруппа группы 
и 
Тогда выполняются соотношения
Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что 
и 
и используя лемму 1.2.7, получаем
Покажем, что 
Так как 
и 
, то 
Пусть 
– произвольный элемент из и 
где и 
Тогда 
значит, 
Поэтому ввиду произвольности 
Следовательно, с учетом соотношений (5) 
и, значит, 
Таким образом, все соотношения (4) выполняются. Лемма доказана.
1.2.10 Л е м м а. Пусть – группа, разложимая в произведения
некоторых подгрупп и и конечной подгруппы . Тогда индексы подгруппы 
в группах , и конечны и выполняются соотношения
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом соотношений (6), очевидно,
Поэтому
Лемма доказана.