Дипломная работа: Систематичний відбір

де - коефіцієнт кореляції між парами одиниць, що належать до однієї й тієї самої систематичної вибірки. Цей коефіцієнт визначається за формулою

,

де чисельник є середнім по всім різним парам, а знаменник – середнє по всім значенням . Розпишемо чисельник і знаменник:

Підставивши отримані вирази у отримаємо:

.

Доведення.

Дисперсія середнього значення систематичної вибірки дорівнює

.

Звідси маємо

.

Отже,

.

Ділимо обидві частини на і отримуємо вираз для

.

Останній результат показує, що додатна кореляція між одиницями в одній і тій самій вибірці збільшує дисперсію вибіркового середнього. Навіть мала додатна кореляція може мати великий ефект за рахунок множника .

Теорема доведена.

Дві попередні теореми виражали через дисперсію популяції , тобто співвідносили дисперсію з дисперсією для простої випадкової вибірки

.

Існує аналог теореми 1.1.3, в якому виражена через дисперсію стратифікованої випадкової вибірки, де страти складалися з перших одиниць, других одиниць і т.п. При позначеннях індекс при відповідає номеру страти. Середнє для страти будемо записувати так .

Теорема 1.1.4.

, (1.1.4)

– дисперсія одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти. В знаменнику стоїть , тому що кожна з страт вносить ступінь вільності. Величина