Дипломная работа: Структура некоторых числовых множеств

Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множества есть счетное множество.

Теорема 5. Сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 6. Сумма счетного множества конечных множеств есть счетное множество.

Теорема 7. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 8. Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство

Множество дробей вида с зафиксированным знаменателем , т.е. множество

очевидно счетно

Но знаменатель может принимать также счетное множество натуральных значений. Значит, в силу теоремы 7, множество

М= - счетно

Удаляя из М все сократимые дроби и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности всех положительных рациональных чисел , а значит в счетности всех отрицательных рациональных чисел , т.к. множества

Отсюда множество все рациональных чисел счетно, поскольку

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество рациональных чисел любого отрезка счетно.

Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т.е.

Доказательство

Выделим, пользуясь теоремой 2, из М счетное подмножество и пусть , тогда , . Так как , , применяя теоремы 4 и 5 , получаем .

Теорема доказана.

Теорема 10. Если бесконечное множество несчетно, а А его конечное или счетное подмножество, то .

Доказательство

Множество не может быть конечным, иначе исходное множество было бы конечным или счетным. Но тогда по теореме 9, будет , а это и значит, что . Теорема доказана.

Теорема 11. Если элементы множества А определяются значками, каждый из которых, независимо от других, пробегает счетное множество значений

(, то множество А счетно.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если .