Дипломная работа: Структура некоторых числовых множеств

Возможность соответствия и доказывает теорему.

2) Основанное на теории двоичных дробей.

Рассмотрим некоторые факты этой теории:

1. Двоичной дробью называется сумма ряда,

Указанная сумма обозначается символом

2. Всякое число допускает представление в форме

Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь вида Числа 0 и 1 разлагаются (единственным образом) в дроби ,

Если же , то допускает два разложения. В этих разложениях знаки … совпадают, а знак в одном из них равен 1, а в другом 0. Все остальные знаки у первого разложения нули (0 в периоде), а у второго единицы (1 в периоде).

Например

3. Всякая двоичная дробь равна некоторому числу .

Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то есть число вида , исключение составляют дроби и , и тогда, наряду с исходным, существует еще одно двоичное разложение .

Если же двоичная дробь не содержит цифру 0 или 1 в периоде, то и других двоичных разложений не имеет

Вернемся к доказательству теоремы.

Условимся не пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала будет иметь единственное представление в форме

(1)

причем, какое бы число ни взять, найдутся такие , что

Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из . Но задать дробь (1) можно, указав те , для которых

Эти образуют возрастающую последовательность натуральных чисел

(2)

и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит, множество последовательностей (2) имеет мощность . Но между множествами и легко установить взаимнооднозначное соответствие. Для этого достаточно соотнести последовательности (2) последовательность

из , для которой , , ,…

Теорема доказана.

Теорема 6. Если элементы множества А определяются значками, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью

, то множество А имеет мощность .

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер.

Пусть