Дипломная работа: Структура некоторых числовых множеств

Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств , и множеством всех последовательностей натуральных чисел. Это позволит установить такое же соотношение между и .

Пусть , где , , .

В соответствиях между , и элементам , , отвечают какие-то элементы из .

Пусть

элементу отвечает последовательность ,

элементу отвечает последовательность ,

элементу отвечает последовательность .

Соотнесем элементу последовательность , очевидно входящую в .

Этим мы действительно получили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеет мощность .

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощность .

Следствие 2. Множество всех точек трехмерного пространства имеет мощность .

Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с [6; 27].

Теорема 7. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков , каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью , то множество А имеет мощность с.

Доказательство

Пусть множество значений значка есть .

Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностей натуральных чисел.

Пусть это соответствие обозначено .

Сделав это, выберем произвольный элемент .

Тогда , где .

Пусть в соответствии значению значка отвечает последовательность

Тогда элементу отвечает бесконечная целочисленная матрица

(*)

Легко видеть, что полученное соответствие между А и множеством матриц (*) взаимнооднозначно. Стало быть, остается обнаружить, что множество имеет мощность с. Но это очевидно, так как, соотнеся матрице (*) последовательность

мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие между и .

Значит множество А имеет мощность .

Теорема доказана.