Дипломная работа: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
2). - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .
3). Пусть . Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что , для любых элементов . Тогда получим
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, , где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на
Доказательство. Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда , где , . Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре , причем .
Пусть , т.е. , . Тогда и, значит, .
Пусть, наконец, имеет место и . Тогда справедливы следующие соотношения:
Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: . Из леммы 2.2 следует, что . Так как и , то . Значит, . Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть и - конгруэнции на алгебре , и - изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, .
Доказательство. Очевидно, что - изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что - конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что . Лемма доказана.