Дипломная работа: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Пусть
Тогда и
. Так как
,
и
, то
. Следовательно,
удовлетворяет определению 2.1.
Если , то
, значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда . Так как
и
, то
, следовательно,
. Из (2) следует, что
, а по условию
. Значит,
и поэтому
. Тем самым показано, что конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1, т.е.
централизует
. Докажем обратное включение. Пусть
. Тогда на алгебре
определена конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и ,
. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
- конгруэнция на алгебре
. Заметим, что из доказанного включения
следует, что
. Покажем поэтому, что
централизует
. Так как
,
и
, то
, т.е.
удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если , то
, следовательно,
.
Пусть имеет место (3) и . Так как
,
, то
и
. Из (4) следует, что
, следовательно,
, т.е.
. На основании леммы 2.2 заключаем, что
. Следовательно,
. Но так как
, то
, т.е.
.
4) Обозначим . Пусть
и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение
на
следующим образом
тогда и только тогда, когда
. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что
. Теорема доказана.
Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3 Мультикольцо
Согласно [2] алгебра сигнатуры
называется мультикольцом,если алгебра
-группа(не обязательно абелева).Все операции из
имеют ненулевые арности и для любой
-арной операции
и любых элементов
имеет место
=
,для любого
. Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной
-группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
где ,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу
.
Докажем,например,первое равенство.
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
получаем требуемое равенство.
Определение. Подалгебра мультикольца
называется идеалом [9],если
-нормальная подгруппа группы
и для любой
-арной операции
, произвольного
и любых
,
имеет место