Дипломная работа: Устойчивость по Ляпунову
Для нее может быть построена функция Ляпунова
причем .
Замечаем теперь, что не содержит в своей записи параметра , поэтому эта же функция пригодна для исследования системы
но непригодна для системы .
Чтобы получить функцию Ляпунова для системы , необходимо найти аналог члена в записи . Но с точки зрения механики величина (или характеризует восстанавливающую силу, а величина соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы функцию
Очевидно, получим в силу системы
Условия устойчивости в целом запишутся следующим образом:
а) при ,
б) ,
в) при .
Легко проверить, что множество , то есть прямая не содержит целых траекторий, кроме начала координат.
Укажем другой подход к задаче. Производя в уравнении замену переменной получим систему
Используя снова прежнюю функцию Ляпунова , получим в силу системы
Условия устойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяется менее ограничительным условием
Метод деления переменных
Рассмотрим систему
где при --- постоянные, могут быть функциями координат, параметров и времени.
Определенно положительная функция
имеет производную в силу системы в следующем виде:
где