Дипломная работа: Устойчивость по Ляпунову

Для нее может быть построена функция Ляпунова

причем .

Замечаем теперь, что не содержит в своей записи параметра , поэтому эта же функция пригодна для исследования системы

но непригодна для системы .

Чтобы получить функцию Ляпунова для системы , необходимо найти аналог члена в записи . Но с точки зрения механики величина (или характеризует восстанавливающую силу, а величина соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы функцию

Очевидно, получим в силу системы

Условия устойчивости в целом запишутся следующим образом:

а) при ,

б) ,

в) при .

Легко проверить, что множество , то есть прямая не содержит целых траекторий, кроме начала координат.

Укажем другой подход к задаче. Производя в уравнении замену переменной получим систему

Используя снова прежнюю функцию Ляпунова , получим в силу системы

Условия устойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяется менее ограничительным условием

Метод деления переменных

Рассмотрим систему

где при --- постоянные, могут быть функциями координат, параметров и времени.

Определенно положительная функция

имеет производную в силу системы в следующем виде:

где