Дипломная работа: Устойчивость по Ляпунову

Таким образом, будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.

В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя

Здесь , --- постоянные, --- возмущение рабочего угла, --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.

В данном случае получаем

а в качестве матрицы берем единичную матрицу. Таким образом, получим

Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.

Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для . Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе и матрицы .

Метод Красовского

Исследуется система уравнений

Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы

Таким образом, получим и .

В качестве примера рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Функцию Ляпунова выбираем в виде

Легко видеть, что

Очевидно, следует принять и , тогда будем иметь