Дипломная работа: Устойчивость по Ляпунову

Приведем без доказательства теорему Майергофера-Еругина.

Теорема Майергофера-Еругина

Пусть решение уравнения

где функция непрерывна для всех и , определено на промежутке и непродолжимо для значений .

Тогда при , где --- граница области .

Предположим теперь, что в окрестности любой точки выполняются условия существования решения уравнения . Для простоты предположим, что --- скаляр.

Теорема признак Винтнера-Еругина

Пусть функция уравнения определена и непрерывна для всех вещественных и как функция двух переменных.

Тогда любое решение уравнения неограниченно продолжим в обе стороны, если только выполнено неравенство

где --- функция, удовлетворяющая условию

где --- число.

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть существует решение , которое не является неограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремы Майергофера-Еругина существует некоторое число такое, что принимает разных знаков и при .

Ввиду непрерывности решения как функции от оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений , по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).

Допустим, что при . Так как --- решение уравн