Книга: Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля

1. если то Р(А/В)=1

2. если Ø, то Р((А+В)/С)=Р(А/С)+Р(В/С)

3.

2.2 Формула полной вероятности

Определение. Пусть задано некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Тогда совокупность событий А₁ , А₂ , …, А_n называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

а) А₁ А₂ …, А _n =Ω;

б) А _i A_j =Ø, ;

г) Р(А_к )>0.

Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В₁ , В₂ ,…, В _n , которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема:

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В₁ , В₂ ,…, В _n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

P( А ) =.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

2.3 Формула Бейеса

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В₁ , В₂ ,…, В _n , которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

, , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса :

,

Заменив P( А ) = получим:

.

Решение задач.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому используя формулу условной вероятности получи:

.

Задача 2. Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В= «Взятая деталь бракованная», А_к = «деталь берется из к-ой партии», тогда вероятность Р(А_к )=1/3, где к=1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других парий нет бракованных лыж, то есть: . Применяя формулу полной вероятности получим:

P ( B )=.

Задача 3. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p₁ , второго р₂ . Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В= «прибор отказал», событие А₁ = «Оба узла исправны», А₂ = «первый узел отказал, а второй испарвен», А₃ = «первый узел исправен, а второй узел отказал», А₄ = «Оба узла отказали». Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности:

Р(А₁ )=р₁ р₂

Р(А₂ )=(1-р₁ )р₂