Книга: Проблема Ферма для простых показателей больше 3
В строке 3 (начиная со столбца 3) записаны биноминальные коэффициенты разложения бинома (Z– X)P–5, умноженные на число А2 и т. д.
B строке (Р–1)/2 записаны (начиная со столбца (Р–1)/2)биноминальные коэффициенты разложения бинома (Z–X)2, умноженные на число АР–3/2.
В строке (Р+1)/2 записан коэффициент последнего члена многочлена (1.2) – число АР–1/2.
В последней строке табл. 1 записаны коэффициенты многочлена (1.3), которые равны +1.
Обратим внимание на то, что в каждом столбце табл. 1 (до строки Р + 1/2 включительно) записаны все коэффициенты подобных членов многочлена (1.2), а в строке без номера записаны коэффициенты членов многочлена (1.3).
Это обстоятельство позволяет вычислять числа А1, А2, …
Суммируя последовательно коэффициенты столбцов табл. 1 от столбца 2 до столбца (Р + 1)/2 и приравнивая полученные суммы (в силу тождества (1.2) и (1.3)) к (+1), получим значения чисел А1, А2,
Из столбца 2 получим 
+ А1 = 1, тогда А1 = 
+ 1, отсюда
А1 = Р. (1.4)
Таблица 1.Таблица коэффициентов
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | . | . | … | … | p – 1/2 | P + 1/2 | |
| 1 | +1 |  |  |  |  | . | . | . | . | … |  |
| 2 |  |  |  |  | . | . | . | . | … |  | |
| 3 |  |  |  | . | . | . | . | … |  | ||
| 4 |  |  | . | . | . | . | … |  | |||
| 5 |  | . | . | . | . | … |  | ||||
| . | . | . | . | . | … | ||||||
| . | . | . | . | … | |||||||
| . | . | . | … | ||||||||
| . | . | … | |||||||||
| P–1/2 |  |  | |||||||||
| P+1/2 |  | ||||||||||
| + 1 | + 1 | + 1 | + 1 | + 1 | . | . | . | . | + 1 | + 1 |
Из столбца 3 (с учетом (1.4)) получим +
– 
+ А2 = 1, отсюда А2 = – (– 1) = Р(Р – 3)/2, а значит, А2 – число целое и кратное Р.
Для доказательства того, что А3 – число целое и кратное Р, достаточно определить, что (
+ 1) – число кратно Р, (то , что оно целое очевидно) так как остальные коэффициенты столбца 4 – числа целые и кратные Р, множители А1 и А2 которых, как показано выше, целые и кратные Р. Далее, + 1 = Р(Р2 – 6Р + 11)/6 – число кратное Р, так как при Р = 6n + 1 или Р = 6n + 5 дробь (Р2 – 6Р + 11)/6 - целое число, где n = ÎN+, а значит А3 – число целое и кратное Р.
Если нами найдено, что А1, А2, …, Аk–1 – числа целые и кратные Р, то число Аkбудет целым и кратным Р, если 
– число кратное Р (то , что оно целое очевидно), где k= 1, 2, …, P–1/2. Пусть k– число четное , тогда имеем 
– целое и кратное Р, так как 
= (P – 1)(P– 2)…(P– k)/k! – 1= (mP+ k!)/k! – 1 = mP/k! – число целое и кратное Р , где (m, P)=1 и mкратное k!
Пусть k– число нечетное , тогда имеем – 
– число кратное Р(то , что оно целое очевидно), так как = (P – 1)(P– 2)…(P– k)/k! + 1 = (m1P – k!)/k! + 1 =m1P/k!- – число целое и кратное Р, где (m1,P)=1 и m1 кратно k!
Таким образом, при любой четности kчисло Аkбудет числом целым и кратным Р.
Осталось доказать, что число АР–1/2 = Р.
Пусть Z= X= 1, тогда многочлен (1.2) будет равен АР–1/2, а многочлен (1.3) равен Р и их тождество возможно, если
АР–1/2 = Р. (1.5)
Запишем тождество многочленов (1.2) и (1.3) с учетом (1.4) и (1.5):
ZP–1 + Z P–2 X + ZP–3 X 2 + Z 2X P–3 + ZX P–2 + Z P–1 =
= (Z – X) P–1 + PZX (Z – X)P–3 + A2Z 2X 2(Z – X) P–5 +…
+ AP–3/2 Z P–3/2 X P–3/2(Z – X)2 + PZ P–1/2 X P–1/2. (1.6)
Умножая правую и левую части тождества (1.6) на (Z– X), получим (1.1), что и требовалось доказать. Следствие. Если Zи Xнатуральные взаимно простые числа и ZP– XP= (Z– X) M1, то
a) (Z – X, M1) = 1, если(Z – X, P) = 1;
б) (Z – X, M1) = P, если(Z – X, P) =P,
где M1 – многочлен вида (1.3) и для б) M1= G1P, (G1,P) = 1.
Так как ZP+ XP= ZP– (– X) P= [Z– (– X)]M2, то
M2 = Z P–1 – Z P–2X + Z P–3X 2 –…+ Z 2X P–3 – ZX P–2 +X P–1 =
= (Z + X) P–1 – PZX (Z + X)P–3 + A2Z 2X 2 (Z + X) P–5 –