(Z – X)P–3 + ZX(Z – X)P–5 + Z 2X 2(Z – X)P–7 +…...+ ZP–5/2 XP–5/2(Z – X)2 + ZP–3/2XP–3/2 = [(Z – X)2 + ZX]2 W, (1.10)

гдеW = [(Z – X)2 + ZX)]P–7/2 + B1Z 2X 2(Z – X)2 [(Z – X) + ZX]P–13/2 + B2Z 4X 4(Z – X)4[(Z – X)2 + ZX)]P–19/2 + …+ Bi Z 2iX 2i (Z – X)2i [(Z – X)2 + ZX]R–2 + Bn1Z 2n1 X 2n1 (Z –X)2n1.

Следствие. Пусть X= – X0, а Z= Z0, где (X0, Z0) ÎN +, тогда

(Z0 + X0)P–3 – Z0X0 (Z0 + X0)P–5+ (Z0 + X0)P–7 –…

...+ (–1)P–3/2 = [(Z0 + X0)2 – Z0X0]2 W0, (1.11)

где W0 имеет форму многочлена W.

Таблица 2.Таблица коэффициентов

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

B1

3

B2

4

B3

5

.

n1 + 1

1

8

…

3 + 2(n1- 1)

…

P–9/2

P–7/2

P–5/2

P–3/2

P–1/2

1

…

…

…

1

2

…

…

…

B1

3

…

…

…

B2

4

…

…

…

B3

5

…

…

…

B4

.

…

…

n1 + 1

…

…

…

…

…

1

1.2 Основная теорема

Теорема: Неопределенное уравнение XP+ YP= ZPне имеет решений в натуральных числах, где P– простое число >3.

Доказательство ведем от противного.

Пусть существует решение неопределенного уравнения

XP+ YP= ZP (1.12)

в натуральных числах и пусть это решение примитивное, т.е.

(X, Y) = 1, (Z, X) = 1, (Z, Y) = 1. (1.13)

1.3 Основные обозначения и соотношения

Все вводимые ниже числа принадлежат N +.

Благодаря (1.12) и (1.13) одно из чисел (X, Yи Z) четное.

Пусть

d0 = НОД+(X+ Y, Z) Þпусть X+ Y= C0d0, (1.14)

а Z= a0d0, (1.15)

где (a0, С0) = 1; (1.16)

d1 = НОД+(Z– X, Y) Þпусть Z– X= C1d1, (1.17)

а Y= a1d1, (1.18)

где (a1, C1) = 1; (1.19)

d2 = НОД+(Z– Y, X) Þпусть Z– Y= C2d2, (1.20)

а X= a2d2, (1.21)

где (a2, С2) = 1. (1.22)

Благодаря (1.13) (d0, d1) = 1, (d0, d2) = 1 и (d2, d1) = 1.

Запишем трехчлен (X+ Y– Z) в трех формах и, учитывая (1.14) и (1.15), (1.17) и (1.18), (1.20) и (1.21), получим соответственно:

(X + Y) – Z = C0d0 – a0d0 = d0(C0 – a0), (1.23)