Книга: Проблема Ферма для простых показателей больше 3

1.5 Вспомогательные числа и вспомогательные сравнения

Пусть {1, 2, …, ri, …, mi, ..., li, …, K – 1} – приведенная система наименьших, натуральных вычетов по модулю K . Тогда, очевидно, существуют такие числа r1, r2, r3, m1, m2, m3 и l1, l2 и l3, принадлежащие этой системе, что

r1Z – X º 0 mod K или r1Z º X mod K , (1.50)

Z – r2Y º 0 mod K или r2Y º Z mod K , (1.51)

r3X + Y º 0 mod K или r3X º –Y mod K , (1.52)

Z – m1X º 0 mod K , (1.53)

m2Z – Y º 0 mod K , (1.54)

X + m3Y º 0 mod K , (1.55)

Z 2 – l1XY º 0 mod K , (1.56)

Y 2 + l2ZX º 0 mod K , (1.57)

X 2 + l3ZY º 0 mod K . (1.58)

Умножая сравнения (1.50)–(1.52), получим

r1r2r3ZXYº – ZXYmodK ,

отсюда

r 1 r 2 r 3 º –1 mod K . (1.59)

Cложим сравнение (1.50) и (1.51) и, учитывая (1.26), получим

r1Z– X+ Z– r2Yºr1Z+ (Z– X) – r2Yºr1Z+ Y– r2Yº

ºr1Z– Y(r2 – 1) º0 modK ,

а учитывая, что Zºr2YmodK (cм. (1.51)), получим

r1r2Y – Y(r2 – 1) º 0 modK ,

отсюда

r1r2 – r2 + 1 º 0 mod K Þr1r2 º r2 – 1 mod K . (1.60)

Умножая сравнение (1.60) на r3 и учитывая (1.59), получим

r2r3 – r3 + 1 º 0 mod K Þ r2r3 º r3 – 1 mod K . (1.61)

Умножая (1.61) на r1 и учитывая (1.59), получим

r1r3 – r1 + 1 º 0 mod K Þ r1r3 º r1 – 1 mod K . (1.62)

Из сравнений (1.50) и (1.53) получим

r 1 m 1 º 1 mod K , (1.63)

а из сравнений (1.51), (1.54) и (1.52),(1.55) получим соответственно