Книга: Проблема Ферма для простых показателей больше 3

отсюда, сокращая на r3, получим l3 – m3 ºr1 modK , а с учетом (1.66) имеем

l3 ºr1 + m3 ºr1 + 1 – r2 modK ,

отсюда, так как l3, r1 и r2 меньше K , имеем

l 3 = r 1 – r 2 + 1. (1.74)

1.5.6. Проведем анализ равенств, полученных в п. 1.5.5.

Из равенства (1.72) следует, что

а) r 2 ³ r 3 ,

тогда сложим равенства (1.73) и (1.74):

l2 +l3 = r3 – r1 + 1 + r1 – r2 + 1 = r3 – r2 + 2,

отсюда, так как числа l2 и l3 натуральные, следует, что

б) r 3 ³ r 2 .

отношения а) и б) возможны только при условии, что

r 2 = r 3. (1.75)

Из равенства (1.73) следует, что

в) r 3 ³ r 1 ,

тогда сложим равенства (1.72) и (1.74):

l1 + l3 = r2 – r3 + 1 + r1 – r2 + 1 = r1 – r3 + 2,

отсюда, так как числа l1 и l3 натуральные, следует, что

г) r 1 ³ r 3,

отношения в) и г) возможны только при условии, что

r 1 = r 3 . (1.76)

Благодаря равенствам (1.75) и (1.76) имеем равенство чисел r1, r2 и r3, тогда

r 1 = r 2 = r 3 = r . (1.77)

Из равенств (1.72)–(1.74) с учетом равенств (1.77) следует, что

l 1 = 1, l 2 = 1 и l 3 = 1 . (1.78)

Благодаря (1.77) сравнения (1.60)–(1.62) примут вид

r 2 – r + 1 º 0 mod K , (1.79)

а сравнение (1.59) будет выглядеть следующим образом:

r3 º–1 mod K . (1.80)