Книга: Проблема Ферма для простых показателей больше 3

r3m3 º 1mod K . (1.65)

Сложим сравнения (1.50) и (1.55) и, учитывая (1.51) и (1.60), получим

r1Z – X + X + m3Y º r1r2Y + m3Y º Y (r2 – 1 + m3) º 0 mod K Þ

Þm 3 º 1 – r 2 mod K . (1.66)

Cложим сравнения (1.52) и (1.54) и, учитывая (1.50) и (1.62), получим

m2Z – Y + r3X + Yº m2Z + r3r1Z º Z(m2 + r3r1) ºº Z(m2 +r1 – 1) º 0 mod K , Þm2 º 1 – r1 mod K . (1.67)

Из сравнения (1.51) вычтем сравнение (1.53) и, учитывая (1.52) и (1.61), получим

Z – r2Y – Z + m1X º m1X – r2(–r3X) º X(m1 + r2r3) º

º X(m1 + r3 – 1) º 0 mod K Þm1 º 1 – r3 mod K. (1.68)

Решая совместно сравнения (1.56) и (1.50) и принимая во внимание сравнение (1.51), получим

Z 2 – l1XYºZ 2 – l1r1ZYºZ(Z– l1r1Y) ºZ(r2Y– l1r1Y) º

º ZY(r2 – l1r1) º 0 mod K Þl 1r1 º r2 mod K . (1.69)

Решая совместно сравнения (1.57) и (1.51) и принимая во внимание (1.52), получим

Y 2 + l2ZXºY 2 + l2r2YXºY(Y + l2r2X) ºY(–r3X + l2r2X) ºXY(l2r2 – r3) º 0 modK Þl 2 r 2 º r 3 mod K . (1.70)

Решая совместно сравнения (1.58) и (1.52) и принимая во внимание (1.50), получим

X 2 + l3ZY º X2 + l3Z(–r3X) º X(X – l3r3Z) º X(r1Z – l3r3Z) º ZX(r1 – l3r3) º 0 mod K , Þl 3r3 º r1 mod K . (1.71)

Из сравнения (1.69) вычтем сравнение (1.63) и, принимая во внимание (1.60), получим

l1r1 – m1r1 º r2 – 1 º r1r2 mod K ,

отсюда, сокращая на r1, получим l1 – m1 ºr2 modK , а с учетом (1.68) имеем

l1 ºr2 + m1 ºr2 + 1 – r3 modK ,

отсюда, так как l1, r2 и r3 меньше K , получим

l 1 = r 2 – r 3 + 1. (1.72)

Из сравнения (1.70) вычтем сравнение (1.64) и, принимая во внимание (1.61), получим

l2r2 – m2r2 º r3 – 1 º r2r3 mod K ,

отсюда, сокращая на r2, получим l2 – m2 ºr3 modK , а с учетом (1.67) имеем

l2 ºr3 + m2 ºr3 + 1 – r1 modK ,

отсюда, так как l2, r3 и r1 меньше K , получим

l 2 = r 3 – r 1 + 1. (1.73)

Из сравнения (1.71) вычтем сравнение (1.65) и, принимая во внимание (1.62), получим