Книга: Розвязування економетричних задач

Взагалі операція множення матриць не комутативна:

.

Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.

Для дій над матрицями справедливі такі властивості:

а)

- асоціативний закон множення матриць;

б)

- дистрибутивний закон множення матриці на суму матриць;

в)

- комутативний закон множення квадратної матриці на одиничну матрицю такого ж порядку.

Транспонування матриць

Матриця ’ називається транспонованою відносно матриці , якщо кожен стовпець матриці ’ є відповідним рядком матриці , тобто перший стовпець матриці ’є першим рядком матриці , відповідно другий стовпець матриці ’ є другим рядком матриці і т.д.

Для елементів транспонованих матриць виконується умова

.

Якщо квадратна матриця симетрична, то виконується умова .

Властивості транспонованих матриць:

1.

2.

3.

4.

Інвертування матриць

Розглянемо невироджену матрицю n-го порядку:

.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, тобто , і виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто .

Квадратна матриця називається оберненою до квадратної матриці того ж порядку, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці:

Визначення рангу матриці

Якщо у будь-якій матриці виділити r довільних столбців та r довільних рядків, то з елементів матриці, які містяться на перетині цих рядків і стовпців, можна скласти визначник r-го порядку. Його називають мінором r-го порядку.

Рангом матриці називають число, яке дорівнює найвищому порядку її мінора, відмінного від нуля (rang [A]).

Диференціальне обчислювання в матричній формі