Контрольная работа: Численные методы расчетов в Exel
Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” — часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen” , т.е. имя .
Конечной разностью первого порядка называется разность:
Дyi = yi + 1 - yi , i = 0,1, .... , n – 1
Аналогично определяются конечные разности второго и более высоких порядков.
Интерполяционный полином Ньютона.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:
Pn (x) = y0 + (x-x0 ) · Дy0 /1!h + (x-x0 )(x-x1 ) · ДІy0 /2!hІ+....+ ( x - x 0 )( x - x 1 )…..( x - xn -1 ) · Д n y 0 / n ! hn
Решение.
Выполнение задания I.
Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2” . Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05 . Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ).
Pn (x ) = P9 (x)= y0 + (x-x0 ) Дy0 / 1!h + (x-x0 ) (x-x1 ) IJy0 /2!h2 +..
..+ (x-x0 ) (x-x1 ) (x-x2 ) (x-x3 ) (x-x4 ) (x-x5 ) (x-x6 ) (x-x7 ) (x-x8 ) (x-x9 ) Д 9 y0 / 9! h9 =
0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! · 0,05 2 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,05 8 +
( x - 0,15) ( x - 0,20) ( x - 0,25) ( x - 0,30) ( x - 0,35) ( x - 0,40) ( x - 0,45) ( x - 0,50) ( x - 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,05 9 .
Выполнение задания II.
1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.
Шаг первый:
Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL :
а ) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).
б ) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.
в ) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.
Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.
Шаг второй:
Ввод формул:
а ) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка :