Контрольная работа: Экономико математические методы и модели 3

То есть, х₁ = 810, х₂ = 612, х₃ = 954.

3. При определении запаса k -го вида ресурсов, необходимого для производства найденных полных выпусков продукции, достаточно умножить матрицу ресурсо-затрат B на матрицу-столбец из полных выпусков продукции:

b1	0,23	0,05	0,05	0,23*810	+	0,05*612	+	0,05*954	264,6
810
b2	1,50	2,50	0,00	1,50*810	+	2,50*612	+	0,00*954	2745,0
=	*	612	=	=	,
b3	0,50	2,00	0,30	0,50*810	+	2,00*612	+	0,30*954	1915,2
954
b4	0,20	1,00	1,00	0,20*810	+	1,00*612	+	1,00*954	1728,0

То есть запас ресурса следует иметь в количестве 264,6 ед., ресурса – в количестве 2745 ед., ресурса – в количестве 1915,2 ед., ресурса – в количестве 1728 ед.

Задача 4-2

Урожайность пшеницы зависит от количества внесенных удобрений и погодных условий. Фермер может вносить на 1 гектар , или центнеров удобрений. Погодные условия характеризуются тремя состояниями: , и . Урожайность пшеницы с одного гектара составляет центнеров при внесении центнеров удобрений и состоянии погоды . Рыночная цена на зерно составляет ден. ед., если было внесено ц/га удобрений. Стоимость одного центнера удобрений составляет S ден. ед.

Требуется определить, какое количество удобрений следует вносить в почву, чтобы получить как можно большую прибыль, если: а) известны вероятности состояний природы ; б) о вероятностях состояний природы ничего определенного сказать нельзя.

Указание. Составить платежную матрицу, рассчитав значении прибыли по формуле: , .

Исходные данные:

а1	а2	а3	с1	с2	с3	b11	b12	b13	b21	b22	b23	b31	b32	b33	S	p1	p2	p3	λ
2	4	6	9	5	3	5	9	6	10	12	9	13	15	11	4	0,3	0,4	0,3	0,8

РЕШЕНИЕ:

Одним из участников рассматриваемой ситуации является фермер, который должен вносить удобрения в почву для получения хорошего урожая пшеницы. Если описанной ситуации придать игровую схему, то фермер выступит в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в максимизации прибыли с 1 гектара земли. Вторым участником является в буквальном смысле природа (игрок П), то есть внешние природные условия.

Так как фермер на 1 гектар земли может вносить разное количество центнеров удобрений, то чистыми стратегиями игрока А будут следующие стратегии:

– А₁ : вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли;

– А₂ : вносить 4 ц. удобрений на 1 гектар земли;

– А₃ : вносить 6 ц. удобрений на 1 гектар земли.

Природа может реализовать одно из трех состояний: П₁ , П₂ , П₃ .

Таким образом, платежная матрица игры будет иметь размер 3х3.

Вычисляем значении прибыли по формуле:, .

h₁₁ = 9*5 – 4*2 = 37; h₂₃ = 5*9 – 4*4 = 29;

h₁₂ = 9*9 – 4*2 = 73; h₃₁ = 3*13 – 4*6 = 15;

h₁₃ = 9*6 – 4*2 = 46; h₃₂ = 3*15 – 4*6 = 21;

h₂₁ = 5*10 – 4*4 = 34; h₃₃ = 3*11 – 4*6 = 9;

h₂₂ = 5*12 – 4*4 = 44;

Итак, платежная матрица принимает вид (таблица 4.1)

	37	73	46
	34	44	29
	15	21	9

В платежной матрице нет доминируемых стратегий игрока А , поэтому матрица не требует упрощений.

а) для определения оптимальной стратегии игрока А по критерию Байеса вычислим среднее значение (математическое ожидание) выигрыша при использовании каждой из возможных стратегий по формуле: . Получаем:

= 37*0,3 + 73*0,4 + 46*0,3 = 54,1;

= 34*0,3 + 44*0,4 + 29*0,3 = 36,5;