Электромагнитная энергия двух контуров, обтекаемых токами i ₁ и i ₂ ,

(10)

где L ₁ , L ₂ — индуктивности контуров; М — взаимная индуктивность контуров.

Всякая деформация контура (изменение расположения отдельных его элементов или частей) или изменение взаиморасположения контуров приводят к изменению запаса электромагнитной энергии. При этом работа сил в любой системе равна изменению запаса энергии этой системы:

(11)

здесь dW — изменение запаса энергии системы при деформации системы в направлении х под действием силы F .

На указанном законе (11) и основан второй метод определения электродинамических сил в контурах. Электродинамическая сила в контуре или между контурами, действующая в направлении х, равна скорости изменения запаса энергии системы при деформации ее в том же направлении:

(12)

Согласно сказанному электродинамическая сила в контуре, обтекаемом током i ,

(13)

а электродинамическая сила между двумя взаимосвязанными контурами с токами i₁ и i₂ будет

(14)

3. Электродинамические силы между параллельными проводниками

Бесконечной длины

Возьмем два параллельных круглых проводника 1 и 2 (рис. 4), расположенных в одной плоскости на расстоянии друг от друга и обтекаемых токами i₁ и i₂ . Расчет будем производить первым методом. Проделав все операции аналогично выражениям (2) — (8) и учитывая, что sin β = 1, так как проводники расположены в одной плоскости, и вектор индукции в данном случае перпендикулярен этой плоскости (β=90°), получим

, (15)

где

Выразим подынтегральные переменные второго интеграла через одну из переменных, а именно через угол α. Примем за начало координат элемент dy и направление токов, совпадающее с положительным направлением координат. В этом случае текущая координата

(16)

Подставив полученные выражения в уравнение (15) и считая, что проводник 2 распространяется от — ∞ до + ∞, чему соответствует изменение угла α от π до 0, получим

(17)

Очевидно, если проводник 1 (l ₁ ), так же как и проводник 2 , распространяется до ±∞, то с будет стремиться к бесконечности.

Конечной длины

Если проводник 1 имеет конечную длину, то

(18)

Согласно выражению (8) сила, действующая на проводник 1 , равна

(19)

Уравнение (19) определяет силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых бесконечно длинен, а второй имеет конечную длину l и расположен симметрично относительно первого. В случае, когда оба проводника будут иметь конечную длину l , пределы интегрирования для выражения (17) будут уже не от π до 0, а от α ₂ до α ₁ (см. штриховые линии на рис. 4) и сила взаимодействия между двумя круглыми проводниками конечной и равной длины определится уравнением

. (20)

В уравнении (20) множитель перед скобками представляет собой силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых имеет бесконечную длину. Обозначим эту силу через F _∞ . Коэффициент, заключенный в скобках, представляет собой величину, меньшую единицы. При α/1< 0,2 (в практике, как правило, α/1<< 0,2) величиной ( α/ l )² по отношению к единице можно пренебречь. Тогда уравнение (20) примет вид (21)