Контрольная работа: Элементы теории вероятностей. Случайные события

= » 0,282.

Задача 15Б.

В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном – 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика. Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?

Решение:

Возможны две гипотезы:

Н₁ – при бросании кубика выпадет количество очков, кратное 3, т.е. или 3 или 6;

Н₂ – при бросании кубика выпадет другое количество очков, т.е. или 1 или 2 или 4 или 5.

По классическому определению вероятности гипотез равны:

Р(Н₁ ) = 2/6 = 1/3; Р(Н₂ ) = 4/6 = 2/3.

Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то должно выполняться равенство

Р(Н₁ ) + Р(Н₂ ) = 1/3 + 2/3 = 1

Пусть событие А состоит в появлении красного шара. Условные вероятности этого события зависят от того, какая именно гипотеза реализовалась, и составляют соответственно:

Р(А|Н₁ ) = ; Р(А|Н₂ ) = .

Тогда по формуле полной вероятности

Р(А) = Р(Н₁ )·Р(А |Н₁ ) + Р(Н₂ )·Р(А |Н₂ ) +…+ Р(Н _n )·Р(А |Н _n )

вероятность события А будет равна:

Р(А) = = 0,62

Задача 16Б.

Вероятность появления события А по крайней мере один раз в 5-ти независимых испытаниях равна 0,9. Какова вероятность появления события А в одном испытании, если при каждом испытании она одинаковая?

Решение:

Воспользуемся формулой для вероятности появления хотя бы одного события

Р(А) = 1 – q ⁿ

По условию задачи Р(А) = 0,9 и n = 5. Составим уравнение

0,9 = 1 – q ⁵

q ⁵ = 1 – 0,9 = 0,1

= 0,63 – вероятность Не появления события А в одном испытании, тогда

р = 1 – q = 1 – 0,63 = 0,37 – вероятность появления события А в одном испытании.

Задача 17Б.

Из каждых 40-ка изделий, изготовленных станком-автоматом 4 бракованных. Наугад взяли 400 изделий. Найти вероятность того, что среди них 350 без дефекта.