Контрольная работа: Элементы теории вероятностей. Случайные события

Поскольку количество испытаний велико (n = 400) то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k = 350 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

и j(х ) – диф. функция Лапласа –Гаусса

По условию задачи вероятность бракованного изделия равна q = 4/40 = 0,1, Значит вероятность изделия без дефекта равна р = 1 – q = 1 – 0,1 = 0,9.

Определим аргумент функции Лапласа-Гаусса х : .

Учитывая что функция j(х ) является четной, т.е. j(–х ) = j(х ) по таблице значений функции Гаусса определяем, что j(–1,67) = 0,0989. Теперь » 0,016.

Задача 18Б.

Вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на лекции будут присутствовать не меньше 75 и не больше 90.

Решение:

Поскольку количество испытаний велико (n = 100), то для нахождения вероятности того, что событие А появится от 75 до 90 раз воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

и Ф(х ) – интегральная функция Лапласа

Определим аргументы интегральной функции Лапласа х ₁ и х ₂ :

= –1,25;

= 2,5.

Учитывая что функция Ф(х ) является Нечетной, т.е. Ф(–х ) = – Ф(х ) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим:

Ф(–1,25) = – Ф(1,25) = –0,39435 и Ф(2,5) = 0,49379, тогда

Р₁₀₀ (75 £k £ 90) = Ф(х2) – Ф(х1) = Ф(2,5) – Ф(–1,25) = 0,49379 +0,39435 = 0,888.

Задача 19Б.

Сколько раз необходимо кинуть игральный кубик, чтобы нивероятнейшее число появления тройки равнялось 55?

Решение:

Число m ₀ называется наивероятнейшим в n независимых испытаниях, если вероятность наступления события А при этом числе наибольшая.

n ·p – q ≤m ₀ ≤n ·p + p

По условию задачи т ₀ = 55, вероятность появления тройки равна p = 1/6, значит вероятность НЕ появления тройки равна q = 5/6. Составим неравенство

получили линейную систему неравенств

п – 5 ≤ 330 п ≤ 335

п + 1 ≥ 330 п ≥ 329

Таким образом получили, что игральный кубик необходимо кинуть от 329 до 335 раз.

действие событие величина