Контрольная работа: Интегралы. Функции переменных

при n>4 , значит ряд также сходится.

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.

,

Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:

, следовательно наш ряд расходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость:

Так как условия признака Лейбница выполнены

данный ряд сходится условно.

3. Найти область сходимости функционального ряда

, перепишем его в виде:

Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.

Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда определяется сходимостью степенного ряда: , причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.

Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:

Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :

Итак, область сходимости функционального ряда :