P { | – q| >e } ® 0при n®¥.

Означення. Послідовність оцінок , n =1, 2, ..., будемо називати асимптотично незміщеною послідовністю оцінок параметра q , якщо

M ( – q) ® 0

або, що те саме M®q при n®¥.

2. Методи знаходження оцінок: емпіричні оцінки, метод максимальної правдоподібності

2.1. Означення емпіричної функції розподілу. Емпіричні значення параметрів

Означення. Нехай x ₁ , x ₂ , ..., x _n – вибірка з неперервного розподілу F . Функцію ( x ), визначену на R ¹ рівністю

(x) = ,

будемо називати емпіричною функцією розподілу.

При кожному фіксованому x емпірична функція розподілу , як функція випадкового вектора x₁ , x₂ , ..., x_{n ,} є випадковою величиною, тому також є функціею й w, тобто (x) = (x; w), wÎW, xÎR¹ .

Для кожного фіксованого x емпірична функція розподілу (x) є незміщеною та спроможною оцінкою F (x).

Надалі нам буде зручно розглядати вибіркові значення x₁ , x₂ , ..., x_n , розташовані в порядку зростання: x₁ ^* , x₂ ^* , ..., x_n ^* Тобто, x₁ ^* – найменше серед значень x₁ , x₂ , ..., x_n ; x₂ ^* – друге за величиною і т.д., x_n ^* – найбільше з можливих значень.

Означення. Послідовність x ₁ ^* , x ₂ ^* , ..., x _n ^* будемо називати варіаційним рядом послідовності x ₁ , x ₂ , ..., x _n ; а x ₁ ^* , x ₂ ^* , ..., x _n ^* – порядковими статистиками.

У термінах порядкових статистик емпіричну функцію розподілу можна подати у вигляді

(x) = (2.1.1)

Безпосередньо з рівності (2.1.1) одержимо, що при фіксованому w значення (x) = 0 у кожній точці x проміжку ( – ¥, x₁ ^* ], оскільки число тих k, при яких x_k ^* <x, дорівнює нулеві; (x) = 1 / n у кожній точці проміжку (x₁ ^* , x₂ ^* ] тому що число тих k, при яких x_k ^* <x, дорівнює 1 і т.д., і, нарешті, (x) = 1 для кожного x з проміжку (x_n , + ¥).

Із вищесказаного випливає, що для кожного фіксованого w функція (x) = (x; w) невід`ємна; стала на кожному з проміжків ( – ¥, x₁ ^* ], (x_k ^* , x_{k +1} ^* ], k = 1, 2, …, n – 1, (x_n , + ¥) (а отже неперервна зліва); неспадна – зростає в точках x_k ^* , k= 1,2,...,n, стрибками величиною 1 / n.

Зауваження 1. Для вибірок x₁ , x₂ , ..., x_n з неперервних розподілів імовірність збігу вибіркових значень дорівнює нулеві, але оскільки ми фіксуємо результати з зазначеною точністю (наприклад, до третього знака), то внаслідок цього деякі вибіркові значення можуть збігатися. При цьому величина стрибка емпіричної функції розподілу в точці x_k дорівнює , де m – кількість вибіркових значень, які збігаються з x_k , враховуючи йx_k .

Зауваження 2. Розподіл, що відповідає емпіричній функції розподілу (x), будемо називати емпіричним. При кожному фіксованому w це дискретний розподіл, що ставить у відповідність кожній точці x_k , k = 1, 2, ..., n, масу (або , якщо з x_k збігаються m вибіркових значень, враховуючи й x_k ).

За допомогою емпіричної функції розподілу можна одержувати інтуїтивно-наочні оцінки параметрів розподілу.

Нехай x₁ , x₂ , ..., x_n – вибірка з розподілу F( × ; q), що залежить від параметра q, причому параметр q невідомий і його необхідно визначити за вибіркою. Припустимо, що параметр q однозначно визначається розподілом (функцією розподілуF(x; q) ), тобто

q = F (F(x; q) ),

де F – функціонал, заданий на множині функцій розподілу. Наприклад, a = Mx, s² = Dx (коли вони існують) є функціоналами функції розподілу F (x) випадкової величини:

a = xF (dx); s² = (x – tF (dt))² F (dx).

Вибірка x₁ , x₂ , ..., x_n визначає емпіричну функції розподілу (x). І оскільки (dx) “близька” до F(x; q) ( при кожному х є незміщеною і спроможною оцінкою F(x; q), а q = F (F(x; q) ), то для оцінювання параметра q природно розглядати величину

= F ( (x)).

У такий спосіб, наприклад, для aодержимо оцінку

= x (dx) = ,

для s²

= (x – t (dt))² (dx) = (x_i -)² =

Інтеграли обчислюються як інтеграли Лебега за дискретним розподілом, зосередженим у точках x₁ , x₂ , ..., x_n з масою 1 / n в кожній з них.

Означення. Оцінку параметра q = F ( F ( x ; q )) , одержану за формулою = F ( ( x )), будемо називати емпіричним (вибірковим) значенням параметра q .