Зауваження . Питання про те, яким має бути рівень значущості, не є статистичною задачею. Здебільшого за рівень значущості приймають числа 0,10; 0,05; 0,01; 0,001 і т.д. Чим серйозніші наслідки помилки першого роду, тим меншим повинен бути рівень значущості.

4. Критерій c ² , гіпотетичний розподіл залежить від невідомих параметрів

Нехай x = (x₁ , x₂ , ..., x_n ) – вибірка з невідомого нам розподілу F. Щодо розподілу F висувається гіпотеза

H₀ : F( × ) = G ( × ; q₁ , q₂ , …, q_k ), ( q₁ , q₂ , …, q_k ) = q∈Q.

РозподілG ( × ; q₁ , q₂ , …, q_k ) визначенийзточністюдопараметрівq₁ , q₂ , …, q_k . Параметриq₁ , q₂ , …, q_k невідомі, причомущодозначенняцихпараметрівмиможемоматилишетуінформацію, якаміститьсяувибірціx = (x₁ , x₂ , ..., x_n ). Інакшекажучи, гіпотезаH₀ полягаєвтому, щоx = (x₁ , x₂ , ..., x_n ) євибіркоюзрозподілу, що належитьдокласурозподілівG ( × ; q₁ , q₂ , …, q_k ),( q₁ , q₂ , …, q_k ) = q∈Q.

Наша мета – за реалізацію вибірки x = (x₁ , x₂ , ..., x_n ) зробити висновок: відхиляти гіпотезу H₀ чи не відхиляти?

Оскільки q₁ , q₂ , …, q_k невідомі, природно за значення q₁ , q₂ , …, q_k визнати їх оцінки, побудовані за вибіркою x₁ , x₂ , ..., x_n , і, отже, як гіпотетичний розподіл розглядати G ( × ; q₁ , q₂ , …, q_k ). Р. Фішер встановив, що коли гіпотеза H₀ справедлива і оцінки q₁ , q₂ , …, q_k одержані за методом максимальної правдоподібності, то розподіл відхилення

D (, G) =

між і G при n®¥ збігається до розподілу c² з (r – 1 – k) ступенями вільності, де k – число параметрів, які оцінені з вибіркою x= (x₁ , x₂ , ..., x_n ). Відхилення D (, G) будується наступним чино: ділимо X (простір вибіркових значень x_i ) на скінченне число r (2 ≤ r < ∞) непересічних множин X_i ; p_i (, , ..., _k ) – імовірності попадання вибіркових значень до множин X_i , i =1, 2, ..., r, обчислені за гіпотетичним розподілом.

Таким чином, коли параметри оцінюються за вибіркою згідно з методом максимальної правдоподібності, ми можемо користуватися критерієм c² у такому формулюванні:

Якщо гіпотезуH₀ відхиляти при

D (, G) = >c² _{a ; ( r - 1 - k )}

і не відхиляти у противному разі, то з імовірністю a гіпотеза H₀ буде відхилятися, коли вона справедлива.

5. Критерій c ² як критерій незалежності

Нехай z = (x, h) – двовимірна випадкова величина (x набуває значень a₁ , a₂ , …, a_s ; h набуває значень b₁ , b₂ , …, b_k ). Розподіл векторної випадкової величини z = (x, h) – спільний розподіл випадкових величин x та h (див.табл. 5.1) – нам невідомий. Невідомі й розподіли

компонент x та h відповідно.

Таблиця 5.1

xh	b1	b2	…	bk	Сума
a1	p1 1	p1 2	…	p1k	p1 ×
a2	p21	p22	…	p2k	p2 ×
…	…	…	…	…	…
as	ps1	ps2	…	psk	ps ×
Сума	p× 1	p× 2	…	p× k	1

p_{i ×} = , i = 1, 2, …, s; p_{× j} = , j = 1, 2, …, k.

= = = 1.

Щодо спільного розподілу випадкових величин x та h – компонент вектора z = (x, h) висувається гіпотеза

H₀ : p_{i j} = p_{i ×} p_{× j} ; i = 1, 2, …, s;j = 1, 2, …, k,

тобто гіпотеза про незалежність випадкових величин x та h (ще говорять, гіпотеза про незалежність ознак).

Маємо результати n спостережень випадкової величини z = (x, h): “значення” (a_i ,b_i )випадкова величина z = (x, h) набула n_{i j} разів, i =1, 2, ...,s;j= 1, 2, ..., k. Результати спостережень випадкової величини z = (x, h) зручно подати у вигляді так званої таблиці спряженості ознак (табл. 5.2).

Таблиця 5.2

xh	b1	b2	…	bk	Сума
a1	n1 1	n1 2	…	n1k	n1 ×
a2	n21	n22	…	n2k	n2 ×
…	…	…	…	…	…
as	ns1	ns2	…	nsk	ns ×
Сума	n× 1	n× 2	…	n× k	n

n_{i ×} = , i = 1, 2, …, s; n_{× j} = , j = 1, 2, …, k.

= = = n.

Наша мета – за результатами спостережень випадкової величини z = (x, h) (табл. 2.5.2) зробити висновок: відхиляти гіпотезу H₀ про незалежність компонент x і h чи не відхиляти.

Для перевірки гіпотези H₀ скористаємося критерієм c² , коли гіпотетичний розподіл залежить від невідомих параметрів. Невідомими параметрами є p_{i ×} та p_{× j} , i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, k, причому

= 1; = 1.

В якості розбиття вибіркового простору

X = {(a_i , b_j ), i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, k}

розглянемо підмножини

X_{i j} = {(a_i , b_j )}, i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, k.

Відхилення емпіричного розподілу

, i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, k,

від гіпотетичного

p_{i ×} p_{× j} , i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, k,

є