Контрольная работа: Методи оцінювання параметрів та перевірка статистичних гіпотез
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ТА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
ЗМІСТ
1.Оцінювання параметрів розподілів. Незміщені, спроможні оцінки
2. Методи знаходження оцінок: емпіричні оцінки, метод максимальноїправдоподібності
2.1. Означення емпіричної функції розподілу. Емпіричні значення параметрів
2.2 Метод максимальної правдоподібності
3. Задача перевірки статистичних гіпотез
4. Критерій c2 , гіпотетичний розподіл залежить від невідомих параметрів
5. Критерій c2 як критерій незалежності
Список використаних джерел
1. Оцінювання параметрів розподілів. Незміщені, спроможні оцінки
Означення. Випадковий вектор x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) зі значеннями в Rn будемо називати вибіркою (вибірковим вектором).
Означення. Вибірку x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), утворену послідовністю незалежних, однаково розподілених випадкових величин x 1 , x 2 , ..., x n , кожна з яких має розподіл F , називають вибіркою обсягом n з розподілу (закону) F .
Означення. Простір Rn , в якому вибірка (вибірковий вектор) набуває значень, будемо називати вибірковим простором.
Ми будемо мати справу з вибірками, розподіли (функції розподілу) яких залежать від деякого параметра q . Множина можливих значень цього параметра (позначимо її Q ) є підмножиною скінченновимірного простору Rs .
Постановка задачі оцінювання параметрів розподілів. Нехай x(w) = (x1 (w), x2 (w), ..., xn (w)) – реалізація вибірки x = (x1 , x2 , ..., xn ) з розподілом F( × ; q). Розподіл F( × ; q) залежить від параметра q, який набуває значень з множини Q. Значення параметра q в розподіліF( × ; q) невідоме і його необхідно оцінити (визначити) за реалізацією x(w) = (x1 (w), x2 (w), ..., xn (w)) вибірки x = (x1 , x2 , ..., xn ). У цьому й полягає задача оцінювання параметрів розподілів.
Для оцінювання невідомого значення параметра q єдине, що нам відомо, і єдине, за допомогою чого ми можемо оцінювати (визначити) q, є реалізація вибірки x. Крім реалізації x(w) вибірки x ми не маємо нічого, що надавало б якусь інформацію про значення параметра q. Тому оцінити (визначити) значення q за реалізацією x(w) (точно чи хоча б наближено) – це означає реалізації x(w) вибірки x поставити у відповідність значення q, тобто вказати правилао, за яким реалізації вибірки ставиться у відповідність значення q. Точніше (формально), це означає, що для оцінювання q на вибірковому просторі – множині реалізацій вибірок – необхідно визначити (побудувати, задати) функцію h( × ) зі значеннями в Q – множині можливих значень параметра q – таку, що
h ( x ( w )) дорівнює q
або хоча б
h ( x ( w )) “ наближено ” дорівнює q .
Значення = h(x(w))ми й будемо використовувати як q. Необхідно відзначити, що для кожної реалізації x(w) значення = h (x(w)), яке використовується як q, буде своє, тому , як функція x = x(w) , є випадковою величиною.
Означення. Борелівську функцію h ( × ), задану на вибірковому просторі Rn , зі значеннями в Q – множині можливих значень параметра q – будемо називати статистикою.
Одержувати (будувати) статистикиh(×), такі щоб q = h (x(w)) = ,тобто щоб за x(w) можно було точно визначити q, явно не вдасться вже хоча б тому, що q є константою, а оцінка = h (x(w)), як функція від вибірки (функція випадкової величини), є випадковою величиною. Тому (хочем ми того чи ні) для визначення q ми будемо вимушені задовольнятися значеннями = h(x), вважаючи (розглядаючи) їх за наближені значення q. Зауважимо, що для одного й того ж параметра q можна запропронувати багато оцінок.
У зв’язку з постановкою задачі оцінювання параметрів розподілів, як задачі одержання наближених значень = h(x) для q виникає необхідність вміти відповідати на запитання – наскільки великою є похибка – q при заміні q на , інакше, як далеко можуть відхилятися значення оцінки = h (x1 , x2 , ..., xn ), обчисленої за вибіркою x = (x1 , x2 , ..., xn ), від оцінюваної величини q?
Кількісно міру похибки при заміні q на (міру розсіювання відносно q) будемо описувати величиною
M | – q|2 .
Серед усіх оцінок з однією і тією ж дисперсією D мінімальну міру розсіювання відносно q мають оцінки, для яких М = q.
Означення. Оцінку будемо називати незміщеною оцінкою параметра q , якщо М = q або, що те саме , M ( – q ) = 0.
Наочно незміщеність оцінки параметра q можна трактувати так: при багаторазовому використанні оцінки як значення для q, тобто при багаторазовій заміні q на , середнє значення похибки – q дорівнює нулеві.
Часто ми маємо можливість розглядати не одну оцінку =h(x) = h(x1 , x2 , ..., xn ), побудовану за вибіркою x = (x1 , x2 , ..., xn ), а послідовність оцінок = hn (x1 , x2 , ..., xn ), n=1,2,... У цій ситуації природно говорити про асимптотичну поведінку послідовності оцінок.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--