Контрольная работа: Методи оцінювання параметрів та перевірка статистичних гіпотез
Вибір розподілу (чи класу розподілів) із сукупності Ƥ будемо називати вибором основної (нульової) гіпотези щодо розподілу в моделі { Rn , ℬn , Pθ }, (щодо розподілу випадкової величини x зі значеннями в Rn ). Після вибору основної гіпотези решту гіпотез назвемо альтернативними або конкурентними відносно основної (нульової). Нульову гіпотезу будемо позначати H0 . Сукупність конкурентних (альтернативних) гіпотез у нас, як правило, буде параметричною. Конкурентні гіпотези будемо позначати так: H0 , q∈Q.
Гіпотези щодо розподілів, які однозначно їх визначають, будемо називати простими гіпотезами, у противному разі – складними.
Наприклад, гіпотезаH0 : випадкова величина x має розподіл
Pθ (k) = Ck n qk 0 (1 – q0 )n-k , k = 0,1,…,n,
де q0 – фіксоване, є простою. Гіпотеза Hq : розподілом випадкової величини x є
Pθ (k) = Ck n qk (1 – q)n-k , k = 0,1,…,n,
де q∈ (1/4;1/2), є складною.
Формулюючи задачу перевірки статистичних гіпотез, за нульову гіпотезу (для наочності та простоти) ми визнали просту гіпотезу: розподілом випадкової величини x є G, де G – цілком визначений розподіл.
Зазначимо, що математична статистика не дає ніяких рекомендацій щодо вибору нульової гіпотези, цей вибір повністю визначається дослідником і залежить від поставленої задачі.
Нехай основна гіпотеза H0 полягає в тому, що розподілом випадкової величини x зі значеннями в Rn є розподіл G. Необхідно перевірити гіпотезу H0 , тобто дійти висновку: G може бути розподілом випадкової величини x (будемо говорити “гіпотеза H0 не відхиляється”) або G не може бути розподілом випадкової величини x (будемо говорити “гіпотеза H0 відхиляється”). Робити висновок про відхилення або невідхилення гіпотези H0 : розподілом випадкової величини x є G, ми будемо за результатами x(ω) експерименту, за реалізацією x(ω) вибірки x (окрім реалізації x(ω) вибірки x, ми не маємо нічого, що б несло інформацію щодо її розподілу). Тому, щоб за результатом експерименту (за реалізацією x(ω) вибірки x) зробити висновок про відхилення або невідхилення гіпотези H0 , нам необхідно вказати ті результати x(ω) = (x1 (ω), x2 (ω), ..., xn (ω) ) експерименту, при яких ми будемо відхиляти H0 , і ті, при яких ми не будемо відхиляти H0 . Інакше кажучи, нам необхідно поділити множину можливих результатів x(ω) = (x1 (ω), x2 (ω), ..., xn (ω)) (вибірковий простір) на дві непересічні множини: S – множину результатів, при яких H0 відхиляється, та – при яких H0 не відхиляється. Далі проводимо експеримент – одержуємо реалізацію x(ω) = (x1 (ω), x2 (ω), ...,xn (ω)) випадкової величини x = (x1 , x2 , ..., xn ) (одержуємо вибірку). Якщо при цьому результат x(ω) потрапляє до S, то ми відхиляємо гипотезу H0 (G не може бути істинним розподілом випадкової величини x). Якщо x(ω) не потрапляє до S, то ми не відхиляємо гипотезу H0 (G може бути істинним розподілом випадкової величини x).
Ось такою і є методика перевірки статистичних гіпотез.
Означення. Борелівську множину S таку, що при x∈S гіпотеза H0 відхиляється, а приx∉S – не відхиляється, будемо називати критичною множиною (критичною областю) або критерієм для перевірки гіпотези H0 .
Визначення на Rn – вибірковому просторі – борелівської множини S рівносильне визначенню борелівської функції φ (x) = Is (х) – індикатора множини S:
Is (х) = φ (x) =
І оскільки між множинами S та їхніми індикаторами Is (х) існує взаємно однозначна відповідність, то борелівську функцію φ (x) = Is (х) також називають критерієм (іноді тестом) для перевірки гіпотези H0 . Якщо φ (x) = 1 (або, що те саме, x∈S), то гіпотеза H0 відхиляється, якщо φ (x) = 0 (або, що те саме, x∉S), то гіпотеза H0 не відхиляється. Нехай H0 – нульова гіпотеза щодо розподілу випадкової величини зі значеннями в Rn . Для перевірки H0 необхідно побудувати (визначити, вибрати) критичну множину S – борелівську множину в Rn , таку що при x∈S гіпотеза відхиляється, а при x∉S – не відхиляється. Борелівських множин S на Rn “багато” і не всі вони будуть однаково “слушними” для перевірки гіпотези H0 . Для кожної гіпотези H0 “слушні” будуть свої S. Ось тут і постає важлива задача (це основна задача перевірки статистичних гіпотез) – як будувати “слушні” критерії для перевірки даної гіпотези H0 .
Щоб відповісти на поставлене питання, ми спочатку розглянемо так звані помилки першого та другого роду та ймовірності цих помилок.
Нехай H0 – нульова гіпотеза; x(ω) – результат експерименту (реалізація вибірки x); S – борелівська множина вRn . Будемо перевіряти H0 , користуючись множиною S як критичною множиною: якщо x(ω) потрапляє до S, гіпотезу H0 відхиляємо, якщо x(ω) не потрапляє до S, гіпотезу H0 не відхиляємо.
При цьому можливі такі ситуації: гіпотеза H0 справедлива або ні, реалізація x(ω) випадкової величини x потрапила до S або ні. Докладніше в таблиці 3.1.
Таблиця 3.1Справедлива гіпотеза
| H0 | H1 | |
|
H0 |
1 вірне прийняття H0 |
2 помилка II роду |
|
H1 |
3 помилка I роду |
К-во Просмотров: 236
Бесплатно скачать Контрольная работа: Методи оцінювання параметрів та перевірка статистичних гіпотез
|