де та – оцінки максимальної правдоподібності для параметрів p_{i ×} та p_{× j} , які дорівнюють відповідно

, i = 1, 2, …, s та , j = 1, 2, …, k.

Отже,

D (, G) = .

Кількість параметрів, оцінених за вибіркою, дорівнює (s – 1) + (k – 1). Кількість підмножин X_{i j} , i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, k, на які поділяється вибірковий простір X, дорівнює sk. Тому число ступенів вільності c² -розподілу, граничного для D (, G), дорівнює sk – 1 – ( (s – 1) + (k – 1) ) = (s – 1) (k – 1).

Таким чином, гіпотезу H₀ про незалежність випадкових величин x і h будемо відхиляти, якщо

>c² _{a ; ( s – 1) ( k – 1)} ,

і не будемо відхиляти в противному разі; при цьому з імовірністю a гіпотеза H₀ буде відхилятися, коли вона справедлива.

Значення випадкових величин x та h ще називають ознаками, і в цьому випадку говорять про критерій c² для незалежності ознак.

Рівні ознак ми, як правило, обираємо самі, поділяючи їх “значення” на підмножини X_i , Y_j ; де X_i – підмножини значень x; а Y_j – підмножини значень h. При цьому, як завжди при використанні критерію c² , ми повинні стежити, щоб для гіпотетичних імовірностей попадання значень пар ознак до X_i ´Y_j виконувалися співвідношення

( ) n = (n_{i ×} n_{× j} ) /n ³ 10,

(при всіх можливих значеннях i та j), де n – обсяг вибірки.

Зауваження. Застережемо, що, маючи справу зі статистичними залежностями, треба бути вельми обережним. Статистична залежність будь-якого виду логічно не може бути чинником причинної залежності. Ідеї щодо причинного зв’язку повинні приходити “ззовні” статистики.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – Киев.: Вища шк., 1988. – 439 с.

2. Турчин В.М. Математична статитика. Навч. посіб. – К.: Видавничий центр “Академія”, 1999. – 240 с.

3. Крамер Г. Математические методы статистики. – 2-е изд., перераб. – М.: Мир, 1975. – 648 с.