Контрольная работа: Методи оцінювання параметрів та перевірка статистичних гіпотез

вірне відхилення

H₀

Приймається гіпотеза

З чотирьох ситуацій дві: 1 та 4 – задовільні і дві: 2 та 3 – незадовільні. У випадках 2 та 3 говоримо, що ми припускаємося помилок. При цьому помилки у випадку 2 (гіпотеза H₀ не відхиляється, коли вона несправедлива) та у випадку 3 (гіпотеза H₀ відхиляється, коли вона справедлива) істотно різняться (за конкретних ситуацій ці помилки, як правило, відрізняються своєю ”ціною”) і мають свої назви.

Означення. Помилка, яка полягає в тому, що гіпотеза H ₀ відхиляється, коли вона несправедлива, називається помилкою першого роду.

Означення. Помилка, яка полягає в тому, що гіпотеза H ₀ не відхиляється, коли вона несправедлива, називається помилкою другого роду.

Докладніше до визначення помилок I та II роду в таблиці 3.2.

Таблиця 3.2Справедлива гіпотеза

H0	H1
H0	1 x(ω) ∉ S	2 x(ω) ∉ S
H1	3 x (ω) ∈ S	4 x(ω) ∈S

Приймається гіпотеза

Про вибір нульової гіпотези. Раніше вже відзначалося, що нульову гіпотезу із сукупності всіх гіпотез ми вибираємо самі. (Помилки, пов’язані з перевіркою гіпотез, які полягають у тому, що дану гіпотезу H₀ , q∈Q, ми відхиляємо, коли вона справедлива, можна розглядати і не вибравши нульової гіпотези). Отже, за основу (нульову) гіпотезу ми вибираємо ту, для якої важливіше уникнути помилки, що полягає в відхиленні даної гіпотези, коли вона справедлива. Помилка першого роду – це помилка, якої важливіше уникнути, – це помилка, “ціна” якої вища.

Чи можна побудувати критерій (критичну множину) для перевірки гіпотези, який би не призводив до помилок? Ні, не можна. Адже, якою б не була критична множина S≠ Ø, значення x(ω) випадкової величини x (результат експерименту) може потрапити до S, коли гіпотеза H₀ справедлива (помилка першого роду), і до – коли вона несправедлива (помилка другого роду). І, оскільки побудувати критерій (критичну множину) для перевірки даної гіпотези, який би не призводив до помилок, неможливо в принципі, то природно, що ми будемо намагатися будувати такі критерії, використовуючи які матимемо мінімально можливу частоту помилок. Подивимося, як це можна зробити.

Нехай H₀ – основна гіпотеза. Припустимо для наочності, що H₀ – проста. Конкурентна гіпотеза тільки одна (позначимо її H₁ ), і вона також проста. Нехай S – критична множина. Використовуючи S для перевірки гіпотези H₀ (відхиляємо H₀ , якщо x∈S, і не відхиляємо H₀ , якщо x∉S), ми можемо припуститися помилок двох типів: H₀ – справедлива, x∈S і, отже, H₀ відхиляється (помилка першого роду); H₀ – не справедлива, x∉S і, отже, H₀ не відхиляється (помилка другого роду). Імовірність помилки першого роду дорівнює ймовірності того, що вибіркове значення x потрапить до критичної множини S, коли гіпотеза H₀ справедлива, тобто P {x∈S | H₀ } (або, що те саме, P{ φ (x) = 1 | H₀ } ); стисло будемо писати: P (S | H₀ ). Імовірність помилки другого роду дорівнює ймовірності того, що вибіркове значення потрапить до , коли гіпотеза H₁ справедлива, тобто P{x∈ | H₁ } (або, що те саме, P{ φ (x) = 1 | H₁ } ); стисло будемо писати: P ( | H₁ ).

Імовірність помилки першого та другого роду однозначно визначаються критичною множиноюS (а, отже, й частоти помилок першого та другого роду однозначно визначаються множиною S). Тому, вибираючи S, скажімо, за умови, що ймовірність помилки першого роду мала, ми водночас одержимо ймовірність помилки другого роду, яка визначається вибраною критичною множиноюS і буде такою, якою вийде. Можна вибратиS і за умови, що ймовірність помилки другого роду мала, але при цьому ймовірність помилки першого роду визначається вибраним S і буде такою, якою вийде. Отже, вибирати S так, щоб одночасно були контрольовані ймовірність помилки першого та другого роду (а разом з ними і частоти помилки першого та другого роду), не вдасться. Тому будемо діяти таким чином. Оскільки важливіше уникнути помилки першого роду (її “ціна” вища), то наша перша вимога до критерію φ (до критичної множиниS) буде така: ймовірність помилки першого родуP (S | H₀ ) має бути малою. Це означає, що, використовуючи критерій S у довгій серії експериментів, ми гипотезу H₀ , коли вона справедлива, будемо відхиляти зрідка.

Таким чином, наша перша вимога щодо критерію – фіксуємо мале a і вибираємо критерій φ (критичну множинуS) так, щоб ймовірність помилки першого роду не перевищувала a:

P (S | H₀ ) £a( P{ φ (x) = 1 | H₀ } £a ).

Якщо ця основна вимога задовольняється більш ніж одним способом, то ймовірність помилки другого родуP ( | H₁ ) була мінімальною (а отже, частота того, щоH₀ не відхиляеться, коли вона несправедлива, була мінімальною), для чогоS вибираємо якомога “широким”.

Означення . Число a , що обмежує зверху ймовірність помилки першого роду, будемо називати рівнем значущості. Якщо критична множина S (критерій φ ) задовольняє умову P ( S | H ₀ ) £ a ( P { φ ( x ) = 1 | H ₀ } £ a ), то будемо говорити, що критична множина S (критерій φ ) відповідає рівню значущості a .

Означення. Імовірність P ( S | H ₁ ) відхилити основну гіпотезу, коли справедлива альтернативна гіпотеза H ₁ , будемо називати потужністю критерію S .

Якщо альтернативна гіпотеза складна (причому коли вона справедлива, справедлива одна з простих гіпотез H₀ , q∈Q), то для кожного q∈Q можна обчислити P (S | H₀ ).