Контрольная работа: Методы и средства электрических измерений

Задача № 5

По результатам 13 измерений были получены статистические характеристики температуры: оценка математического ожидания и оценка с. к. о .

Вычислить:

1) при условии нормального распределения результатов измерений доверительную вероятность выполнения неравенства°С;

2) для заданной доверительной вероятности =0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

1) Для случая симметрии относительно оценки m^o имеем:

I _mβ = (m^o - ε_mβ , m^о + ε_mβ ); P {m^o - ε_mβ ≤ m≤ m^о + ε_mβ } = β. (8)

Перепишем выражение (8) для доверительной вероятности:

Р m^o _- m≤ ε _mβ = β,

для заданного неравенства это выражение будет иметь вид:

Р m_{t -} m_t ^o ≤ ε _mβ = β,

где ε _mβ = 0,77^о С.

Определение доверительной вероятности может быть сведено к использованию таблицы распределения Стьюдента, приведенной в Приложении Б и формулы:

ε _mβ = t _β · (D^o /N), (9)

где D^o - оценка дисперсии; t _β = F _{m (} N-1, β) - функция от доверительной вероятности и числа степеней свободы, квантиль или коэффициент Стьюдента; N - количество измерений.

Оценку дисперсии можно определить по известной оценке с. к. о. :

D^o = (σ_t ⁰ ) ² = 0,5² = 0,25 (^о С) ² .

Тогда квантиль t _β выводим из формулы (9):

t _β = ε_mβ / (^o /), (10)

t _β = 0,77/ = 0,77/0,13867504905 = 5,55.

Зная коэффициент Стьюдента t _β и количество степеней свободы (t _β = =5,55; N-1=13-1=12), по таблице распределения Стьюдента, определим доверительную вероятность β, это будет β = 0,99.

2) Доверительный интервал для дисперсии I _Dβ и соответствующая доверительная вероятность β имеют следующий вид:

I _Dβ = (D_{1 β} , D_{2 β} ), P { D_{1 β} ≤ D≤ D_{2 β} } = β, (11)

где D_1β и D_{2 β} определяются по формулам (12) и (13):

D_1β = D^o (N-1) / V _2β , (12)

D_{2 β} = D^o (N-1) / V _1β . (13)

V - специальная случайная величина, которую можно представить соотношением (14), с использованием оценокm ^o и D^o :

V = D^o (N-1) / D. (14)

Величина V распределена по закону Пирсона с N-1 степенями свободы. Таблица распределения Пирсона приведена в Приложении В, на основе которой по задаваемым некоторым дискретным значениям р и 1 ≤ N-1≤ 30 определяется величина (15):