Контрольная работа: Методы решения алгебраических уравнений

Методы решения алгебраических уравнений

1. Одношаговые итерационные модели

Для решения уравнений часто прибегают к итерационным методам, которые иногда называют методами последовательных приближений.

Суть этого класса методов можно раскрыть на примере.

Пусть нам нужно решить уравнение:

(1)

для решения этого уравнения строится соответствующая итерационная формула:

(2)

Задавая начальное приближение корня уравнения (1) в виде:

(3)

находим дальнейшие приближения по формуле (2):

(4), (5), (6)

Мы видим, что каждое вычисленное значение становится исходным для вычисления последующих приближений .

Такие итерационные формулы называются одношаговыми.

Существуют и двухшаговые, трёхшаговые и т.д. итерационные формулы, которые определяются соответственно формулами:

- двухшаговая формула (7)

- трёхшаговые формула (8)

и т.д.

После построения итерационной формулы (2) возникают вопросы:

а) сколько нужно считать последовательных приближений , т.е. когда остановиться?

б) сходится ли последовательность приближений к корню ?

Ответы на эти вопросы нужно давать всегда, когда имеем дело с методом последовательных приближений Пикара. На вопросы отвечают следующим образом:

а) задаётся точность вычислений и итерационный процесс останавливают, как только достигается соответствующая абсолютная погрешность, т.е. как только выполняется условие:

(9)

б) нужно соответствующим образом строить формулы (2), используя соответствующие теоремы о достаточном условии сходимости. В частности теорему Банаха о сжатых отображениях.

Определение: Пусть M- метрическое пространство с метрикой . Оператор A, отображающий это пространство в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любой пары элементов имеет место неравенство:

(10)

Т.о. сжимающий оператор сжимает расстояние между элементами и , т.е. расстояние между образами элементов меньше или равно расстоянию между их прообразами и . Для таких отображений используется теорема Банаха. Теорема Банаха: Пусть A- сжимающий оператор в полном метрическом пространстве M, тогда уравнение

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--