Контрольная работа: Методы решения алгебраических уравнений

имеет в этом пространстве одно и только одно решение, т.е. существует ровно один элемент , для которого выполняется уравнение . Этот элемент может быть получен как предел последовательности элементов

(12)

где , причём элемент может быть выбран произвольно. Эта теорема применима и для случая, когда оператор - является функцией, т.е. для формулы (2), а также для построения сходящихся итерационных формул Ритца-Якоби в случае линейных систем алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей (определитель близок к нулю) коэффициентов, для дифференциальных и интегральных операторов и т.д. Для итерационной формулы (2), применяя формулу Лагранжа о конечных приращениях, получаем, что для имеет место соотношение:

(13)

что со своей стороны можно переписать в виде

(14)

если Чебышевская норма функций , т.е. если

(15)

В таком случае отображение из (2) является сжимающим и, соответственно, для неё имеет место теорема Банаха.Т. е. итерационная формула (2) позволяет найти корень уравнения (1) по формуле

(16)

Несмотря на кажущуюся простоту, итерационные формулы вида (2) таят в себе много интересных эффектов. Для раскрытия некоторых из них рассмотрим простейшую нелинейную итерационную формулу, возникающую в задаче об эволюции денежных вкладов.

2. Возникновение хаоса в детерминированных системах

Пусть - количество денежных вкладов за лет. Коэффициент относительного прироста вкладов обозначим через . Тогда имеем:

(17)

т.е. , где (18)

Для исследования динамики процесса перепишем (18) в виде:

(19)

Ясно, что если начальное значение денежного вклада было , тогда

(20)

из (20) следует, что с ростом n, количество денежных вкладов неограниченно увеличивается, т.к .

Формула (20) позволяет решить задачу о допустимых процентах роста R. Например, выясним, каким должен быть R, чтобы удвоение вкладов происходило за 50 лет. Имеем:

(21)

Тогда

(22)

т.е.

(23)

Теперь допустим, что совет директоров банка решил увеличить коэффициент прироста R- для привлечения клиентов, но чтобы защитить себя от банкротства решил не допускать дальнейшего увеличения вкладов если величина достигает значения , после чего коэффициент должен становится отрицательным, т.е. уменьшать вклады пока не опустятся ниже , для этого решили, что . Тогда из (17) получаем:

(24)

где . Тогда имеем:

(25)