Контрольная работа: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

II. у″ - 4y′ + 4y = 5х² + 3х + 1

у = U + у(_) - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k_{1; 2} = 2

1) U =?

U = C₁ e^{2 x} + С₂ е^2х ∙ х

2) у(_) =? у(_) = Ах² + Вх + Сy(_)′ = 2Ах + В

у″ = 2А

2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х² + 3х + 1

4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4

8А + 4В = 3

2А - 4В + 4С = 1

у(_) = 5/4х² + 3 + 1/4

у = C₁ e^{2 x} + С₂ е^2х ∙ х + 5/4х² + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2С₁ e^{2 x} + 2C₂ e^{2 x} + 5/2х - 1/8

1 = C₁ + C₂ + 5/4 C₁ + C₂ = 1/4

0 = 2C₁ + 2C₂ + 5/22C₁ + 2C₂ = 5/2

C₁ + С₂ = 9/4

C₁ = - 2С₂ = 9/4

у = - 2e^{2 x} + 9/4е^2х ∙ х + 5/4х² + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.

III. у″ - 4у′ + 4у = 2е^5х

у = U + у(_) - общее решение н. д. у.

у″ - 4у′ + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k_{1; 2} = 2

1) U =?