Контрольная работа: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Умножение:

(а₁ + в₁ i) (а₂ + в₂ i) = а₁ а₂ +в₁ в₂ i² + а₁ в₂ i

а₁ а_{2 -} в₁ в₂ + (в₁ а₂ + а₂ в₂ ) i

Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:

е ^{i у} = cosу + isinу z = ρе ^{i φ}

Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:

1) ( 7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i ² + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ^{ln Ö 58 ×} е ^{arctg 3/7} = е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}

ρ₁ = Ö 58

φ₁ = arctg 3/ 7

(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ^{ln Ö 58 ×} е ^{arctg 7/ 3} = е ^{ln Ö 58 + i arctg 7/ 3}

ρ₂ = Ö 58

φ₂ = arctg 7/ 3

Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ^{ln 58 ×} е ^{i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = е ^{ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)}

При решении примера использовали формулу:

ρ₁ (cosφ₁ + isinφ₁ ) ρ₂ (cosφ₂ + isinφ₂ ) = ρ₁ ρ₂ (cos (φ₁ + φ₂ ) + i (sin (φ₁ +φ₂ ))

Проверка:

е ^{ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} = е ^{ln 58 ×} е ^{i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)} =58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö 1 + tg² (arctg 3/ 7)) = 1/ Ö 1 + (9/49) = 7/Ö 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö 58

sin (arctg 3/ 7) = Ö 1 - cos² arctg 3/ 7 = Ö 1 - (7/Ö 58) ² = Ö 9/ 58 = 3/Ö 58 sin (arctg 7/3) = Ö 1 - cos² arctg 7/ 3 = 7/Ö 58

cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/Ö 58 × 3/Ö 58 - 3/Ö 58 × 7/Ö 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/Ö 58× 3/Ö 58 × 3/Ö 58× 3/Ö 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}