Контрольная работа: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

(Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) ² = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7}

Проверка:

е ^{ln Ö 58 + i arctg 3/7} = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos² arctg 3/7 - 1 = 2 × (7/Ö 58) ² - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin² arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö 58) ∙ (7/Ö 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58 ×i) = 40 + 42i

При решении примера применяли следующие формулы:

(ρ (cosd + i sind)) ^п = ρ^п (cosпd + i sinпd) п є N

е ^{х + iу} = е ^х (cosу + isinу)

2) ( 3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i ² + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ^{ln 5 ×} е ^{arctg 4/ 3} = е ^{ln 5 + i arctg 4/ 3}

ρ₁ = Ö 25 = 5

φ₁ = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ^{ln 5 ×} е ^{arctg 3/ 4} = е ^{ln 5 + i arctg 3/ 4}

ρ₂ = 5

φ₂ = arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ^{ln 25 ×} е ^{i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = е ^{ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)}

При решении примера использовали формулу:

ρ₁ (cosφ₁ + isinφ₁ ) ρ₂ (cosφ₂ + isinφ₂ ) = ρ₁ ρ₂ (cos (φ₁ + φ₂ ) + i (sin (φ₁ +φ₂ ))

Проверка:

е ^{ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} = е ^{ln 25 ×} е ^{i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)} =25 (cos (arctg 4/ 3 +

+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))

cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -

sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)

cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö 1 + tg² (arctg 4/ 3)) = 1/ Ö 1 + (16/ 9) = 3/ 5

cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5