Контрольная работа: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

2) у(_) =? у(_) = Ае^5х y(_)′ = 5А^5х

у″ = 25Ае^5х

25Ае^5х - 20Ае^5х + 4А^5х = 2е^5х

9А^5х = 2е^5х

А = 2/9 у(_) = 2/9е^5х

у = C₁ e^{2 x} + С₂ е^2х ∙ х + 2/9е^{5х -} общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у′ (0) = 0

у′ = 2C₁ e^{2 x} + 2С₂ е^2х ∙ х + 10/9е^5х

1 = C₁ + С₂ + 2/9C₁ + С₂ = 7/9

0 = 2C₁ + 2С₂ + 10/92C₁ + 2С₂ = 10/9

C₁ + С₂ = 1/3

C₁ + 1/3 = 7/9

С₁ = 4/9 С₂ = 1/3

у = 4/9e^{2 x} + 1/3е^2х ∙ х + 2/9е^{5х -} частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа

Ö - 1 = i- мнимое число

(Ö - 1) ² = i² i² = - 1

i³ = i² ∙ i = - 1 ∙ i= - i

i⁴ = i² ∙ i² = ( - 1) ∙ ( - 1) = 1

а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

в

. (а; в)

ρ в ρ = Ö а 2 + в 2 = çа + вiú

) d а

а d = arctg в/а –

аргумент комплексного числа

(находится с учетом четверти)

tg

нет

d	0 0	П/6	П/4	П/3	П/2
tg	0	Ö 3/ 3	1	Ö 3	---

- +

0 0

+ -

нет

cosd = a / ρ a = ρcosd

sind = в / ρ в = ρsind

а + вi = ρcosd + i ρsind

а + вi = ρ (cosd + i sind) –

комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Сложение: